二次函数规律探索题

二次函数规律探索题

1．已知A1、A2、A3是抛物线y?12x上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线2A2B2交线段A1A3于点C。

（1） 如图1－1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。 （2）如图1－2，若将抛物线y?件不变，求线段CA2的长。 （3）若将抛物线y?121x改为抛物线y?x2?x?1，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条2212x改为抛物线y?ax2?bx?c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请2y

猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。 y A3 C A2 A 1

x O B1 B2 B3 图1-1

2.已知抛物线y=

A3 C A1 A2 O 图1-2

B1 B2 B3

x

1(x－1)2，A、B是x轴上的两个动点，A在B的左边，过点A作AD⊥轴，交抛物线于点D，过2B作BC⊥x轴,交抛物线于点C。设点A的坐标为（t,0），四边形ABCD的面积为S。 ⑴当AB=4时，求S的最小值，并说明此时四边形ABCD是什么四边形。 ⑵当AB=6时，求S的最小值，并说明此时四边形ABCD是什么四边形。

122(x－1)改为抛物线y=a (x－1)，且AB=2n，其它条件不变，请猜想S的最小值及此时四边形212ABCD是什么四边形。 y=(x－1) 2y y=a (x－1) 2

⑶若将抛物线y=

y

C D A O 1 B x

A O 1 C D B x

1

3．如图24－1，抛物线y?x的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB = 2AD． ⑴求矩形ABCD的面积；

⑵如图24－2，若将抛物线“y?x”，改为抛物线“y?x?bx?c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积； ⑶若将抛物线“y?x?bx?c”改为抛物线“y?ax?bx?c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积(用a、b、c表示，并直接写出答案)．

附加题：若将2题中“y?x”改为“y?ax?bx?c”，“AB = 2AD”条件不要， 其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件？ 并说明理由．

22222222yADPOBCx图24-1yOxADPBC图24-24．如图1，抛物线y=x的顶点为A，B、C是抛物线上两点，BC∥x轴，△ABC为等腰直角三角形。 ⑴求△ABC的面积.

⑵如图2，若将抛物线“y=x2”改为抛物线“y= 1x2+bx+c”,其它条件不变，求△ABC的面积.

222⑶若将抛物线“y= 1x+bx+c”改为抛物线“y= ax+bx+c”, 其它条件不变，请猜想△ABC的面积（用a、b、c

2表示，并直接写出答案）.

y

y B (A) O C x O B A C 图2 x 2

5．如图1，抛物线y=x2上四点A、B、C、D，AB∥CD∥x轴,AB长为2，点D 的纵坐标比点A的纵坐标大1. ⑴求CD的长；

⑵如图2，若将抛物线“y=x2”改为抛物线“y=2x2-8x+9”,其他条件不变，求CD的长；

⑶若将抛物线“y=x2”改为抛物线“y=ax2+bx+c(a＞0)”,其他条件不变，求CD的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。

y y D A O 图1 C B x O 图2 D A C B x 16．已知A、B是抛物线y=x2上的两点，过点A作AD⊥x轴于点D，过B作BC⊥x轴于点C，且∠AOB=90°,

2⑴求AD×BC的值

1⑵如图2：若将抛物线y=x2改为y=2x2+bx+c，顶点为G，直线L过点G且平行于x轴, 过A作AD⊥L于点D，

2过B作BC⊥L于点C，且∠AGC=90°,其它条件不变，求AD×BC的值.

1⑶如图2：若将抛物线y=x2改为y=ax2+bx+c，其它条件不变，求AD×BC的值.

2 y y

B B

A A L

x D G C D O C x O 图2

3

7．如图18，点C、B分别为抛物线C1：y1?x?1，抛物线C2：y2?a2x?b2x?c2的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB = BD． ⑴求点A的坐标；

⑵如图19，若将抛物线C1：“y1?x?1”改为抛物线“y1?2x?b1x?c1”．其他条件不变， 求CD的长和a2的值．

附加题：如图19，若将抛物线C1：“y1?x?1”改为抛物线“y1?a1x?b1x?c1”，其他条件不变，求b1?b2的值．

222222yyABABCODCDxOx图 19图 188、如图，已知点A1、A2、A3、A4?、An在x轴的正半轴上，且横坐标依次为连续的正整数，过点A1、A2、A3、A4?、An分别作x轴的垂线，交抛物线y=x+x于点B1、B2、B3、B4?、Bn，交过点B1的直线y=2x于点C2、C3、C4?、Cn。若△B1C2B2、

△B2C3B3、△B3C4B4?、△BnCn?1Bn?1的面积分别为S1、S2、S3、?、Sn。 ⑴求S2－S1与S3－S2的值；

⑵猜想Sn－Sn?1与n的数量关系，并说明理由；

⑶若将抛物线“y=x+x”改为“y=x+bx+c”, 直线“y=2x”改为

“y=(b+1)x+c”，其它条件不变，请猜想Sn－Sn?1与n的数量关系（直接写出答案）。

4

222B4 y B3 C4 CB2 C2 B1 AAO A1 Ax 9．如图1，平移抛物线F1：y?x得到抛物线F2，已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点Ｂ，设抛物线F2的顶点为Ｎ。 （１）探究四边形ＡＢＭＮ的形状及其面积（直接写出结论）；

（２）若将已知条件中的抛物线F1：y?x改为“抛物线F1：y?ax”（如图２）“A（2，0）”改为“点Ａ（m，０）”，其他条件不变，探究四边形ＡＢＭＮ的形状及其面积，并说明理由；

（３）若将已知条件中的抛物线F1：y?x改为“抛物线F1：y?ax?c”（如图３）“A（2，0）”改为“点Ａ（m，c）”，其他条件不变，求直线ＡＢ与y轴的交点Ｃ的坐标（直接写出结论） 22222 y F 1 F2 Ｂ （Ｍ） 图１Ｏ Ａ x

Ｎ

y F1

图２ Ｏ （Ｍ） x

5

y F1

Ｍ 图３ Ｏ x