专题10.1 椭圆-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学（理）（原卷版）

心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量a,b,c,e的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.

3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为

Ax2?By2?1(A?0,B?0)，可避免分类讨论和繁琐的计算.

【考点针对训练】

x2y21. 【2017年马鞍山市高三第三次模拟】已知椭圆E: 2?2?1(a?b?0)的右焦点为F?3,0?，过点Fab的直线交E于A、B两点．若AB 的中点坐标为?1,?1?，则E的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B. ??1 C. ??1 D. ??1 A.

4536362727181892. 【江苏省如皋市2017届高三联考（二）】已知椭圆错误！未找到引用源。的离心率为错误！未找到引用源。，右焦点为错误！未找到引用源。，点错误！未找到引用源。在圆错误！未找到引用源。上，且错误！未找到引用源。在第一象限，过错误！未找到引用源。作圆错误！未找到引用源。的切线交椭圆于错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。两点．若错误！未找到引用源。的周长为错误！未找到引用源。，则椭圆错误！未找到引用源。的方程为____． 【考点2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质 图形 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2y2??1(a?b?0) a2b2(±c,0) |F1F2|＝2c(c＝a－b) 222y2x2??1(a?b?0) a2b2(0，±c) 焦点 焦距

范围 顶点 |x|≤a；|y|≤b 长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b) |x|≤b；|y|≤a 长轴顶点(0，±a)，短轴顶点(±b,0) 对称性 离心率 曲线关于x轴、y轴、原点对称 曲线关于x轴、y轴、原点对称 ce＝∈(0，1)，其中c＝a2－b2 a22x0y0x2y22.点P(x0,y0)与椭圆2?2?1关系（1）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1；（2）点P(x0,y0)在椭

abab2222x0y0x0y0圆上?2?2?1；（3）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1.

abab【规律方法技巧】

1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.

3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出a,b,c的等式或不等式，结合a2?b2?c2化出关于

a,c的式子，再利用e?2c，化成关于e的等式或不等式，从而解出e的值或范围.离心率e与a,b的关系为：ac2a2?b2b2b?1?e2. e?2?1?=?22aaaa4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[a?c,a?c].

2b24.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点

a的直线被椭圆所截得弦长的最小值. 【考点针对训练】

x2y21. 【贵州省遵义市2017届高三模拟】已知椭圆2?2?1(a?b?0)， F是椭圆的右焦点， A为左顶

ab点，点P在椭圆上， PF?x轴，若PF?1AF，则椭圆的离心率为（ ） 4A.

3132 B. C. D. 4222

x2y22. 【福建泉州2017届质量检查】已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，点P在椭圆

aba2?e2C上，线段PF2与圆x?y?b相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则（其中e为椭圆C的

b222离心率）的最小值为（ ）学科-网 A. 6 B. 3635 C. 5 D. 44【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】

直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离.【规律方法技巧】

1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ 1＋k|x1－x2|＝ 1＋k·?x1＋x2?－4x1x2＝

2

2

2

[来源:学科网ZXXK]

1

1＋2·|y1－y2|＝

k12

1＋2·?y1＋y2?－4y1y2.

k3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】

x2y21. 【四川省大教育联盟2017届三诊】已知椭圆M： 2?2?1（a?b?0）的一个焦点为F?1,0?，

ab离心率为

2，过点F的动直线交M于A， B两点，若x轴上的点P?t,0?使得?APO??BPO总成立2（O为坐标原点），则t?（ ） A. ?2 B. 2 C. ?2 D. 2 x2y222. 【2017届河南省郑州一中高三百校联考】已知椭圆C： 2?2?1 (a?b?0)的离心率为，ab2且过点?2,0?.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点M?1,0?任作一条直线与椭圆C相交于P， Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得直线PN与直线QN关于x轴对称？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.

【应试技巧点拨】

１．焦点三角形问题的求解技巧

(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形．

(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①椭圆的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式． ２．离心率的求法 椭圆的离心率就是

c的值，有些试题中可以直接求出a,c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出a,cacb或，aa的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于a,c或a,b的方程，通过这个方程解出

b2b2c利用公式e?求出，对双曲线来说，e?1?2，对椭圆来说，e?1?2.

aaa3． 有关弦的问题

(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算．

2|PP|?1?k|x1?x2|或①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P，，则所得弦长(?x?,?y?)P(?x?,?y?)12111222|PP12|?1?1|y2?y1|，其中求|x1?x2|与|y2?y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： k2|x1?x2|??x1?x2?2?4x1x2，|y2?y1|??y1?y2?2?4y1y2. ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4.直线与椭圆的位置关系

在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.