2018高考（江苏专版）大一轮（文）复习检测：第7课 函数的奇偶性

第7课 函数的奇偶性

A 应知应会

1. (2015·湖南卷改编)若函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)的奇偶性是 . 2. 已知a为常数,函数f(x)=x-4x+3.若f(x+a)为偶函数,则a= . 3. (2015·苏州调查)已知函数y=log2为奇函数,那么实数a的值为 .

4. (2015·苏北四市期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=log2(2-x),则f(0)+f(2)的值为 .

5. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求函数f(x)的解析式. 6. 已知函数f(x)=x+(x≠0,常数a∈R). (1) 讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;

(2) 若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.

B 巩固提升

1. (2015·全国卷)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则实数a= .

2. (2015·宿迁一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x+x,则关于x 的不等式f(x)<-2的解集是 .

3. (2015·淮安中学模拟)已知函数f(x)=aln(+x)+bx+x,其中a,b为常数,f(1)=3,则f(-1)= . 4. (2015·启东联考)若函数f(x)同时满足:(1) 对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;(2) 对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有<0,则称函数f(x)为理想函数.给出下列四个函数:①f(x)=;②f(x)=x;③f(x)=;④f(x)=其中能被称为理想函数的有 .(填序号) 5. 已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1) 求证:f(x)是奇函数; (2) 若f(-3)=a,用a表示f(12).

6. 设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意的x∈M(M?D),有x+l∈D,且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为M上的l高调函数.

(1) 如果定义域为[-1,+∞)的函数f(x)=x为[-1,+∞)上的m高调函数,求实数m的取值范围;

(2) 如果定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a|-a,且f(x)为R上的4高调函数,求实数a的取值范围.

第7课 函数的奇偶性

A 应知应会

1. 奇函数 【解析】显然f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),

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所以f(x)为奇函数.

2. 2 【解析】f(x+a)=(x+a)-4(x+a)+3=x+(2a-4)x+a-4a+3.因为f(x+a)为偶函数,所以a=2.

3. 1 【解析】因为y=f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=0,即=1,解得a=±1.当a=-1时,=-1<0,不满足真数为正这一条件,所以a=1.

4. -2 【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为当x<0时,f(x)=log2(2-x),所以f(2)=-f(-2)=-log2(2+2)=-2,故f(0)+f(2)=-2. 5. 【解答】因为f(x)是R上的奇函数, 可得f(0)=-f(0),所以f(0)=0.

当x>0时,-x<0,由已知得f(-x)=xlg(2+x),所以-f(x)=xlg(2+x),即f(x)=-xlg(2+x)(x>0). 所以f(x)=

即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R). 6. 【解答】(1) 当a=0时,f(x)=x, 对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 有f(-x)=(-x)=x=f(x), 所以f(x)为偶函数.

当a≠0时,f(x)=x+,若x=±1,则f(-1)+f(1)=2≠0,

所以f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述,当a=0时,f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.

(2) 设2≤x14, 所以a

又因为x1+x2>4,所以x1x2(x1+x2)>16, 所以实数a的取值范围是(-∞,16]. B 巩固提升

1. 1 【解析】由题知y=ln(x+)是奇函数,所以ln(x+)+ln(-x+)=ln(a+x-x)=ln a=0,解得a=1. 2. (2,+∞) 【解析】设x>0,则-x<0,所以f(-x)=x-x.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=x-x,所以f(x)=-x+x,即f(x)=所以f(x)<-2等价于或解得x>2.故原不等式的解集为(2,+∞).

3. -1 【解析】已知函数f(x)=aln(+x)+bx+x,所以f(x)+f(-x)=2x.由f(1)=3得f(-1)=-1.

4. ④ 【解析】依题意知性质(1)反映函数f(x)在定义域上为奇函数,性质(2)反映函数f(x)在定义域上为减函数.①f(x)=为定义域上的奇函数,但不是定义域上的减函数,其单调减区间为(-∞,0),(0,+∞),排除①;②f(x)=x为定义域上的偶函数,排除②;③f(x)=的定义域为R,由于y=2+1在R上为增函数,故函数f(x)为R上的增函数,排除③;④根据f(x)=的图象,显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,故④为“理想函数”.

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5. 【解答】(1) 显然f(x)的定义域是R,关于原点对称. 在f(x+y)=f(x)+f(y)中, 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x). 令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0), 所以f(0)=0,

所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(2) 由f(-3)=a,f(x+y)=f(x)+f(y),及f(x)是奇函数,得f(12)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4a. 6. 【解答】(1) f(x)=x(x≥-1)的图象如图(1)所示,

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图(1)

图(2)

(第6题)

要使f(-1+m)≥f(-1),只要m≥2,此时恒有f(x+m)≥f(x), 所以实数m的取值范围为[2,+∞).

(2) 由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示. 因为f(3a)=a=f(-a),

由f(-a+4)≥f(-a)=a=f(3a),得-a+4≥3a,从而a≤1. 又当a≤1时,恒有f(x+4)≥f(x). 所以实数a的取值范围为[-1,1].

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