线性代数（同济大学第5版）习题解答 - 第1章

x-10?000x-1?00(5) ??????=xn+an-11x+?+an-1x+an。

000?x-1anan-1an-2?a2x+a1 证明：

a2abb2a2ab-a2b2-a22(1) 2aa+b2b=c2-c1b-a2b-2a=(-1)3+1ab-a2b2-a111cc2a3-1100b-a2b-2a

=(b-a)(b-a)ab+a12=(a-b)3=右边

(2)

ax+byay+bzaz+bx ay+bzaz+bxax+by按第一列xay+bzaz+bxyay+bzaz+bxayaz+bxax+by+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz分开zax+byay+bzxax+byay+bzc+bzzyzaz+bx3-bc1;c3?axayx+b2zxax+by(1)c2-bc3;c2?axyzyc-aca2yaz+bxzx+b3z21;c2?bzax+byyxyay+bz(2)caca3y3-2;c3?bzxyxxyzxyz=a3yzx+b3yzx(-1)2=右边

zxyzxy a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2a2a2+(2a+1)(a+2)2(a+3)2b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2b2b2+(2b+1)(b+2)2(b+3)2c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2=c2c2+(2c+1)(c+2)2(c+3)2d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2d2d2+(2d+1)(d+2)2(d+3)2c2-c1a22a+14a+46a+9a22a+126

c3-c1b22b+14b+46b+9c3-2c2b22b+126c24-c1c2c+14c+46c+9c4-3c2c22c+126=0d22d+14d+46d+9d22d+126

5

zxxyyz(1) (2)

(3)

(4)

1aa2a41bb2b41cc2c41c2-c11dc3-c1ad2c4-c1a2d4a40b-ab2-a2b4-a41=(b-a)(c-a)(d-a)0c-ac2-a2c4-a410b-ac-ad-ad-a222222 =b-ac-ad-a22d-ab2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2-a2)44d-a1b+ac+ad+a b2(b+a)c2(c+a)d2(d+a)100=(b-a)(c-a)(d-a)? bac-bd-bb2(b+a)c2(c+a)-b2(b+a)d2(d+a)-b2(b+a) =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) 11 2222(c+bc+b)+a(c+b)(d+bd+b)+a(d+b)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)

另一证法：

可考虑5阶范德蒙德（Vandermonde）行列式

1aD5=a2a3a41bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2 x3x4① 根据范德蒙德（Vandermonde）行列式

D5=(x-d)(x-c)(x-b)(x-a)(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a) 这是关于x的4次多项式，

其中x3的系数为-(a+b+c+d)(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a) ② D5按第5列展开：

D5=1?A15x?A25x2?A35x3?A45x4 A55

其中A45=(-1)4+5M45=-M45=-D

①②比较知：D=(a+b+c+d)(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)

6

(5) 用数学归纳法证明，当n＝2时，D=xa2-1x+a1=x2+a1x+a2

命题成立；假设对（n－1）阶行列式命题成立，即

Dn-1=xn-1+a1xn-2+?+an-2x+an-1

则Dn按第一列展开得

Dn=xDn-1+an(-1)-10?0-1?0n+1x?0?000???x-1n-1=xDn-1+an(-1)n+1(-1)n-1

=xDn-1+an=xn+a1xn-1+?+an-1x+an成立，由归纳法知，命题成立。

1－7 设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90o、或依副对角线翻转，依次得

an1?annD1=??a11?a1na1n?ann,D2=??a11?an1ann?a1n,D3=??

an1?a11证明 D1=D2=(-1)n(n-1)2D,D3=D.

证明： ?D=det(aij)

an1?ann\\D1=??=(-1)n-1a11?a1na11?a1nan1?ann??a21?a2na11?a1n=(-1)n-1a11?a1na21?a2n=(-1)n-1(-1)n-2an1?ann=? ?a31?a3n1+2+?+(n-2)+(n-1)(-1)n-2?(-1)??=(-1)an1?annn(n-1)2TD=(-1)n(n-1)2D

同理可证 D2=(-1)n(n-1)2a11?an1??=(-1)a1n?annn(n-1)2D=(-1)n(n-1)2D

D3=(-1)

n(n-1)2D2=(-1)(-1)n(n-1)2D=(-1)n(n-1)D=D

7

1－8 计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）：

a1?1a(1) Dn=,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；

xa?aax?a(2) Dn=；

????aa?xan(a-1)n?(a-n)nan-1(a-1)n-1?(a-n)n-1(3) Dn+1=?a1?a-11????a-n1；提示：利用范德蒙德行列式的结果。

an?(4) D2n=0bn0a1b1c1d1?0?dn1?1??11??0； (5) Dn=det(aij),其中aij=i-j；

cn1+a1(6) Dn=1?11+a2?,其中a1a2?an10。

?1+an解：(1)

aDn=1?1=aa+0?0+11=aa?01+a0?11=aa?01-a1?a1

=an-an-2=(a2-1)an-2或由拓展的展开定理：

aaDn=1?a1

1a?aa8

1=a1=?1aa?a(a2-1)an-2