线性代数（同济大学第5版）习题解答 - 第1章

线性代数（同济大学第5版）习题解答——第一章

1－1 利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201abc（1）1-4-1； （2）bca

-183cab111xyx+y（3）abc； （4）yx+yx.

a2b2c2x+yxy解：

201（1）

1-4-1=2?(4)?30?(1)?(1)+1创18-0创13-2?(1)?8-183=-24+8+16-4=-4

abc（2）bca=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3

cab

111（3）abc=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a) a2b2c2

xyx+yyx+yx=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3x+yxy（4）

=3xy(x+y)-y3-3x2y-3y2x-x3-y3-x3=-2(x3+y3)

1－2 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n-1) 2 4 … (2n)； （6）1 3 … (2n-1) (2n) (2n-2) … 2。

1

?(4)?(11)

解：（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2； （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1； （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3；

（5）逆序数为

n(n-1)2： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … (2n-1) 2，(2n-1) 4，(2n-1) 6，…，(2n-1) (2n-2) (n-1)个；

（6）逆序数为n(n-1)：

3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … (2n-1) 2，(2n-1) 4，(2n-1) 6，…，(2n-1) (2n-2) (n-1)个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … (2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n-2) (n-1)个。

1－3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解： 由定义知，四阶行列式的一般项为

(-1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1=1,p2=3已固定，如13□□，即1324或1342.对应的t分别为

0+0+1+0=1或0+0+0+2=2

\\-a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.

2

p1p2p3p4只能形1－4 计算下列各行列式：

犏4犏犏1（1）犏

犏10犏犏0臌解：

1

2512021

犏42犏犏23； （2）犏犏01犏犏75臌1-1204236犏1a10犏犏-abacae犏犏1-1b1犏；（3）bd-cdde；（4）犏犏犏20-1c犏犏bfcf-ef臌犏200-1臌00 1d41(1)

1004125120212342c2-c30c4-7c374-11210300992-104-1-1002=(-1)4+3122

2-14103-141010-110=110-200-2=0

1c+c14123171714c2+c3

213-1(2)

1250 (3)

42361211c4-c23-121225042360212r4-r23-101222142340212r4-r13-1012000423002=0 00-abacbd-cdbfcfae-bcde=adfb-c-efbce-11e=adfbce1-1-e1111-1

r1+r2+r311adfbce1-1111111r2-r11adfbce0-20=4abcdefr-r-13100-2

a10-1b1(4)

0-1c00-1c3+dc21+ab-10001+aba0r1+ar2-1b110-1cd00-1aad01+aba00=(-1)(-1)2+1-1c1 10-1dd1+abadc1+cd=(-1)(-1)3+2=abcd+ab+cd+ad+1

-11+cd-103

1－5 求解下列方程：

x+1（1）

2-11xx+11=0； （2）2x1x+1x32-11aa2a31bb2b31c=0 2cc3解：

x+12x+11-11x+1=(x+1)3-6(x+1)-4=(x2-3)(x+3)=0=(x+1)3-2-2-(x+1)-4(x+1)-(x+1)2-1（1）

∴ x=3orx=-3orx=-3

（2）这是四阶范德蒙德行列式，所以

1xx2x31aa2a31bb2b31c=(x-a)(x-b)(x-c)(a-b)(b-c)(c-a)=0 c2c3x=borx=c

∴ x=aor

1－6 证明:

a2abb2(1) 2aa+b2b=(a-b)3;

111ax+byay+bzaz+bxxyzxzx; y(2) ay+bzaz+bxax+by=(a3+b3)yaz+bxax+byay+bzza2b2c2(3)

(a+1)2(b+1)2(c+1)2(a+2)2(b+2)2(c+2)2(a+3)2(b+3)2(c+3)2=0;

d2(d+1)2(d+2)2(d+3)21a(4) 2aa4

1bb2b41cc2c41d=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 2dd44