概率论与数理统计徐雅静版课后题答案1--7章

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f'Y(y)?FY(y)?fx(?y)?fx(y).

5. 解：随机变量X的分布函数为

?0 , x?1 F(x)???3x-1, 1?x?8，显然F(x)?[0,1]，

??1, x?8 FY(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}，

当y?0时，{F(X)?y}是不可能事件，知FY(y)?0，

当0?y?1时，F)?P{3X?1?y}?P{X?(1?y)3Y(y}?y，

当y?1时，{F(X)?y}是必然事件，知FY(y)?1，

?0 , y?即 F?0Y(y)??y, 0?y?1。 ??1, y?16. （1）FY1(y)?P{Y1?y}?P{2X?1?y}?P{X?y-12} y?1当y?12?0时，即y?1时，Fy-1Y1(y)?P{X?2}??2-?0dx?0， y?11?y当y?1?0时，即y>1时，Fy-1Y221(y)?P{X?2}??20e?xdx?1-e，所以

?f?11?y2，y?1Y1(y)???2e；?0,y?1，其他

（2）FY2(y)?P{Y2?y}?P{eX?y}，

当y?0时，{eX?y}为不可能事件，则FY2(y)?P{eX?y}?0，

当0?y?1时，lny?0，则F?P{eXY2(y)?y}?P?X?lny???lny??0dx?0， 当y?1时，lny?0，则FY2(y)?P?X?lny???lnyx0e?dx?1?1y， 根据fY2(y)?FY?2(y)得

?0, f? y?1Y2(y)??1；??y2,y?1

（3）F2Y3(y)?P{Y3?y}?P{X?y}，

当y?0时，F)?P{X2Y3(y?y}?0，

当y?0时，FY3(y)?P{X2?y}?P??y?X?y???ye?xdx?1?e?y0，

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?0, y?0??y所以 fY3(y)??e；

,y?0?2y??2e?2x,x?07. (1) 证明：由题意知f(x)??。

?0,x?0?2XY1?e?2x，FY（y）?P{Y?y}?P{e?y}， 11（y）?0， （?0即fY当y?0时，FY1y）1当0?y ?1时，FY1(y)?P{e当y?1时，FY1(y)?P?X?故有fY1(y)???2X???lny???2x?y}?P?X?????lny2edx?y，

2??2?????lny??2x???02edx?1， 2??1,0?y?1，可以看出Y1服从区间（0，1）均匀分布；

0, ?（2） Y2?e?2x，FY2(y)?P{Y21?y}?P{1-e?2X?y}?P{e?2X?1-y} 当1?y?0时，FY2(y)?P{e?2x?1-y}?1， 当0?1?y?1时，

?ln(1?y)2FY（(y)）?P{e2?2X?ln(1?y)???1-y}?P?X????02???2X2e?2xdx?y，

?ln(1?y)2 当1?y?1时，FY2(y)?P{e 由以上结果，易知fY2(y)??

?ln(1?y)???1-y}?P?X??????2??0dx?0，

?1,0?y?1，可以看出Y2服从区间（0，1）均匀分布。 ?0,第三章

1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：

P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/3?1/2=/3 同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3; P{X=2,Y=1}=1/3 (X,Y)的分布律用表格表示如下：

Y X 1 2 1 1/3 1/3 2 1/3 0 2 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2 18

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(1) P{X=i, Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|= 错误！未找到引用源。, i,j=0,1,2, i+j?2 或者用表格表示如下：

Y X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 6/28 6/28 0 2 1/28 0 0 (2)P{(X,Y)?A}=P{X+Y?1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=源。 由P(A|B)=

P(AB)P(AB)??1/2错误！未找到引用源。得P(AB)=1/8错误！未找到引用

P(A)1/4P(AB)?1/2得错误！未找到引用源。P(B)=1/4

P(B)(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则

P{X=0,Y=0}=错误！未找到引用源。)P(AB)=P(错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。(A)-P(B)+P(AB)=5/8 P{X=0,Y=1}=P(错误！未找到引用源。B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A错误！未找到引用源。)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知：

1=错误！未找到引用源。, 故A=4 (2)P{X=Y}=0

(3)P{X

F(x,y)=错误！未找到引用源。 即F(x,y)=错误！未找到引用源。 5.解：P{X+Y?1}=

6 解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125

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x?y?1??f(x,y)dxdy??1201?x?(x2?xy65 )dydx?37220

P{X=1,Y=1}=C20.5?0.5?0.25, P{X=1,Y=2}=C20.5?0.5?0.25 P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下：

Y X 0 1 2 P.j

0.125 0 0 0.125

0.125

0

0

0.25 0.5 0.25 1

12120 1 2 3 Pi. 0.25 0.25 0 0 0.375

0.125 0.375

0.125 0.125

?e?y,0?x?y7. 解：f(x,y)??

其它?0,????y?x??edy,x?0?e,x?0 fX(x)??f(x,y)dy????x?0,x?0???0,x?0????y?y?edx,fY(y)??f(x,y)dx???0???0,????ye?y,??0,y?0?y?0y?0 y?0?cx2y,x2?y?18. 解：f(x,y)??

0,x?0?(1)1???????????1?x44cf(x,y)dxdy???2cxydydx?2c?xdx?

?1x022111212所以 c=21/4

??(2) fX(x)?????21x2(1?x4)?2112?xydy,|x|?1?,|x|?1

f(x,y)dy??4?x2??8?0，其它?0,其它???5y21?????x2ydx0?y?1?7y2fY(y)??f(x,y)dx??4?y????2??0，其它??0, 20

0?y?1 其它