2011年高考数学试题（理科）（全国卷）

意：在试卷上作答无效) ．．．．．．．．

(13)(1?x)20的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为 . 【答案】0

【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.

218182【解析】由Tr?1?C(?x)?(?1)Cx得x的系数为C20,x的系数为C20,而C20=C20,

r20rrr20r299所以x的系数与x的系数之差为0. (14)已知??(【答案】?9?2,?),sin??5,则tan2?? . 54 3【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式. 【解析】由??(∴tan2???2,?),sin??sin?1525??, 得cos???,故tan??cos?2552tan?4??. 21?tan?3x2y2C: ??1的左、(15)已知F右焦点，点A?C，点M的坐标为(2，1、F2分别为双曲线

9270)，AM为?F1AF2的平分线．则|AF2|? . 【答案】6

【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质. 【解析】QAM为?F1AF2的平分线，∴

|AF2||MF2|41??? ∴|AF1|?2|AF2| |AF1||MF1|82又点A?C，由双曲线的第一定义得|AF1|?|AF2|?2|AF2|?|AF2|?|AF2|?2a?6. (16)己知点E、F分别在正方体ABCD?A1BC11D1的棱BB1、CC1上，且

B1E?2EB,CF?2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 【答案】2 3【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.

【解析】延长FE交CB的延长线于G,连结AG,则AG为面AEF与面ABC的交线,由

5

B1E?2EB,CF?2FC1得CF?2BE,∴B为GC中点.设正方体的棱长为1,则AG?AC?2,又GC?2,∴AC2?AG2?GC2∴?CAG?90?QFC?平面ABC,∴

FA?AG∴?CAF是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角,在RtVACF2CF22?3?中,tan?CAF?,故面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于. AC332三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

VABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A?C?90?, ,求C.

【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】由a?c?2b及正弦定理可得

sinA?sinC?2sinB …………………………………3分

又由A?C?90,B?180?(A?C),故

?cosC?sinC?2sin(A?C)

=2sin(90??2C)

=2cos2C …………………………………7分

22cosC?sinC?cos2C, 22cos(45??C)?cos2C

因为 0?C?90, 所以 2C?45?C,

???C?15? …………………………………10分

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.

这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

6

(18)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望. 【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望，考查考生分析问题、解决问题的能力.

【解析】记A表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种； D表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)P(A)?0.5, P(B)?0.3, C?A?B ……………………………3分

P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.8 ……………………………6分

(Ⅱ)D?C,P(D)?1?P(C)?1?0.8?0.2

X:B(100,0.2),即X服从二项分布, ……………………………10分 ?0.?2所以期望 EX?1002 0. ……………………………12分

【点评】概率与统计是每年的必考题，一般安排在解答题的前3题.本题属于已知概率求概

率类型. 考查保险背景下的概率问题，要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望.

(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S?ABCD中， AB//CD,BC?CD，侧面SAB为等边三角形，

AB?BC?2,CD?SD?1.

(Ⅰ)证明：SD?平面SAB；

(Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.

解法一：(Ⅰ)取AB中点E，连结DE，则四边形

BCDE为矩形，DE?CB?2，连结SE，则SE?AB，SE?3. 222又SD?1,故ED?SE?SD,所以?DSE为直

角. ………………3分

由AB?DE,AB?SE,DEISE?E,得AB?平面SDE,

所以AB?SD.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直.

所以SD?平面SAB. ………………6分

22另解:由已知易求得SD?1,AD?5,SA?2,于是SA?SD?AD.可知SD?SA,同理

2 7

可得SD?SB,又SAISB?S.所以SD?平面SAB. ………………6分 (Ⅱ)由AB?平面SDE知，平面ABCD?平面SDE. 作SF?DE,垂足为F,则SF?平面ABCD,SF?作FG?BC,垂足为G,则FG?DC?1. 连结SG.则SG?BC.

又BC?FG,SGIFG?G,故BC?平面SFG,平面SBC?平面SFG.……9分 作FH?SG,H为垂足,则FH?平面SBC.

SD?SE3. ?DE2FH?21SF?FG3,即F到平面SBC的距离为. ?7SG721. 7由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距离d也为

设AB与平面SBC所成的角为?,则sin??d2121,??arcsin.……12分 ?EB77解法二：以C为原点,射线CD为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz. 设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0). 又设S(x,y,z),则x?0,y?0,z?0.

uuruuruuur(Ⅰ)AS?(x?2,y?2,z),BS?(x,y?2,z),DS?(x?1,y,z), uuruur由|AS|?|BS|得

(x?2)2?(y?2)2?z2?x2?(y?2)2?z2, 故x?1.

uuur22由|DS|?1得y?z?1,

uur222又由|BS|?2得x?(y?2)?z?4,

即y?z?4y?1?0,故y?2213,z?. ………………3分 22r13uur33uur33uuu13),AS?(?1,?,),BS?(1,?,),DS?(0,,), 于是S(1,,22222222uuuruuruuuruurDS?AS?0,DS?BS?0.

8