(优辅资源)甘肃省兰州高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案

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甘肃省兰州一中高三12月考试题答案（理）

第I卷 （选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。）

1. D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.A 7.C 8. B 9. C 10.D 11.A 12.A 第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.

14. 2

15. ①②_ 16. ?1,???三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分12分）已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)． sin x＋cos x(1)当m∥n时，求的值；

3sin x－2cos x(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，3c＝2asin(A＋B)，

?π?函数f(x)＝(m＋n)·m，求f?B＋?的取值范围．

8??

解1）解:油已知得3sinx+cosx=0,；∴cosx=-3sinx∴

sin x＋cos x2=?(4分)

3sin x－2cos x9(2) ∵ 3c＝2asin(A＋B)由正弦定理3sinC＝2sinAsinC∴sinA=

又?ABC为锐角三角形，?3?,A?(6分) 23?6?B??2??3?2B??,0?sin2B?1(8分）2?3sin(2x?)?(10分）242?f(x)?(m?n)?m?sin2x?sinxcosx?2??23323?f(B?)?sin2B??(?,?（]12分）82222218．（本小题满分12分）某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/

平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

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(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

162

解(1)设污水处理池的宽为x米，则长为x米．

2×1621 296×100

总造价f(x)＝400×(2x＋x)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋x＋12 960＝1 100296(x＋x)＋

100100

12 960≥1 296×2x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝x(x＞0)，即x＝10时取等号． ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元． 1628110081

(2)由限制条件知≤16，∴8≤x≤16.设g(x)＝x＋x≤x≤16，

g(x)在[8，16]上是增函数，∴当x＝8时(此时x＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小

值，

800

即为1 296×81＋12 960＝38 882(元)．

81

∴当污水处理池的长为16米，宽为8米时总造价最低，总造价最低为38 882元. 19．已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn?anlog1an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0恒成立，

28181162

试求m的取值范围.

解 (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.

?????a1q＋a1q＝20，?q＝2，?q＝，?q＝2，2??∴a2＋a4＝20，∴?解得或又{a}单调递增，∴∴an?n2

???a＝aq＝8，a＝2a＝2.3111????

3

1

?a1＝32.

＝2.

(2)bn＝2·log12＝－n·2，

2

nnnn∴－Sn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋n×2，① ∴－2Sn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋(n－1)×2＋n×2①－②，得Sn＝2＋2＋2＋…＋2－n×2

n2

3

2

3

4

23nnn＋1

，②

nn＋1

2（1－2）n＋1n＋1n＋1

＝－n×2＝2－n×2－2.

1－2

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由Sn＋(n＋m)an＋1＜0， 得2

n＋1

－n×2

n＋1

n＋1

－2＋n×2

n＋1

n＋1

＋m×2

n＋1

＜0对任意正整数n恒成立，

∴m·2＜2－2

11

，即m＜n－1对任意正整数n恒成立.∵n－1＞－1，∴m≤－1，

22

即m的取值范围是(－∞，－1].

20．（本小题满分12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点． (1)求证：AE∥面SPD；

(2)求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．

证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，

∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，

FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，

∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，

又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ， 又PF∥CQ，∴AE∥PF，

∴PF?面SPD，AE?面SPD，∴AE∥面SPD．

解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴， 以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1）， =（1，2，﹣1），

=（1，0，﹣2），

=（0，2，﹣2），

设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c）， 则

，即

，取z=2，得=（4，﹣1，2），

，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），

两平面的法向量所成的角的余弦值为： cos＜

＞=

=

=﹣

．

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∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣

x．

21．（本小题满分12分）设函数f（x）=e﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）． （1）若f'?0??0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间； （2）设g（x）=f（x）+

a，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）ex上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；

（3）求证：1n?3n???2n?1??nen?2n?e?1?n?N?．

?解：（1）∵f（x）=ex﹣a（x+1）， ∴f′（x）=e﹣a，

∵f′（0）=1﹣a=0，∴a=1，∴f′（x）=e﹣1，

由f′（x）=e﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）=e﹣1＜0，得x＜0， ∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．… （2）由

＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，

x

x

x

x

令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增， ∴F′（x）=g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立， ，

故m≤3．

∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]． 证明：（3）由（1）知ex≥x+1， 取累加得：

（i=1，3，…，2n﹣1）得，

，即

，

． ∴

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