数列高考题汇编

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时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,又因为{an}为等比数列,所以

r??1,公比为b,an?(b?1)bn?1

（2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n 则

bn?1bn?2n?12n,所以

b?1357b1?1b2?12n?1 ·······n????b1b2bn2462n下面用数学归纳法证明不等式

32b?1357b1?1b2?12n?1·······n?????b1b2bn2462nn?1成立.

① 当n?1时,左边=,右边=2,因为

32?2,所以不等式成立.

② 假设当n?k时不等式成立,即

b?1357b1?1b2?12k?1·······k?????b1b2bk2462kk?1成立.

则当n?k?1时,左边=

b?1bk?1?1357b1?1b2?12k?12k?3 ·······k???????b1b2bkbk?12462k2k?22?k?1?2k?32k?2?(2k?3)4(k?1)?4(k?1)?4(k?1)?14(k?1)2?(k?1)?1?14(k?1)?(k?1)?1 所以当n?k?1时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 9.(2009山东卷文)（本小题满分12分）

?等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数

y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.

x（1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn??n?14an(n?N) 求数列{bn}的前n项和Tn

?解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图

n像上.所以得Sn?b?r,

x当n?1时,a1?S1?b?r,

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当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1, 又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 （2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?222n?14an?n?14?2n?1?n?12n?1

则Tn?12Tn??32233??22242344????123n?12n?1

n?n?12n?24252122???12425n?1

n?12n?2相减,得

Tn????12???12n?1?

1

12?23?(1?1?112n?1)?n?12n?2?34?12n?1?n?12n?2

2?32?n?32n?1所以Tn?32?12n?n?12n?1

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和Tn. 10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分10分）

已知等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0,求{an}前n项和sn.

解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 解：设?an?的公差为d，则

???a1?2d??a1?6d???16 ?a?3d?a?5d?0??11?a12?8da1?12d2??16即? ?a1??4d?a1??8,或解得?d?2,??a1?8 ?d??2?因此Sn??8n?n?n?1??n?n?9?，或Sn?8n?n?n?1???n?n?9? 11.（2009广东卷理）（本小题满分14分）

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已知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为

kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．

（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；

1?xn1?xnxnyn（2）证明：x1?x3?x5???x2n?1?解：（1）设直线

2222?2sin.

ln：y?kn(x?1)，联立x2?2nx?y2?0，则

??(2kn?2n)?4(1?kn)kn?02222得

(1?kn)x?(2kn?2n)x?kn?0，∴

kn?n2n?1kn22n（?n2n?122舍去）

x2n?1?k?n(n?1)，即xn?nn?1n，∴yn?kn(xn?1)?n2n?1n?1

（2）证明：∵

1?xn1?xn1??1?n?1?nn?112n?1

x1?x3?x5?????x2n?1?12?34?????2n?12n?13?35?????2n?12n?1?12n?1

∴x1?x3?x5?????x2n?1?xnyn12n?11?xn1?xn

由于??1?xn1?xn22，可令函数f(x)?x?2sinx，则f(x)?1?'2cosx，

'sx?令f(x)?0，得co，给定区间(0,?4则有f(x)?0，则函数f(x)在(0,)，

2sixn在(0,'?4)上

单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即x?12n?113?4)恒成立，又

0????4，

则有

12n?1?2sin12n?1，即

1?xn1?xn?2sinxnyn.

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12.（2009安徽卷理）（本小题满分13分） 首项为正数的数列?an?满足an?1?14(an?3),n?N?.

2（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围.

解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解：（I）已知a1是奇数，假设ak?2m?1是奇数，其中m为正整数，

ak?342则由递推关系得ak?1??m(m?1)?1是奇数。

根据数学归纳法，对任何n?N?，an都是奇数。 （II）（方法一）由an?1?an?14(an?1)(an?3)知，an?1?an当且仅当an?1或an?3。

另一方面，若0?ak?1,则0?ak?1?1?34?1；若ak?3，则ak?1?3?342?3.

根据数学归纳法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N?;a1?3?an?3,?n?N?. 综合所述，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。

a1?34222（方法二）由a2?an?342?a1,得a1?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3。

an?1?an??an?1?342?(an?an?1)(an?an?1)4,

因为a1?0,an?1?an?34,所以所有的an均大于0，因此an?1?an与an?an?1同号。

根据数学归纳法，?n?N?，an?1?an与a2?a1同号。

因此，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。 13.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 已知数列{

} 的前n项和

}与{

}的通项公式；

，数列{

}的前n项和

（Ⅰ）求数列{

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