《高等数学》(2)学习要点与练习（一） - 2

《高等数学》(2)学习要点与练习（一）

本学期水利水电工程专业高等数学课程教学内容包括高等数学（2）(多元函数微积分)和概率统计基础量部分内容，具体内容如下：

高等数学

1．第九章 空间解析几何与向量代数 2．第十章 多元函数微分学

3．第十一章 重积分、曲线积分与曲面积分 概率统计

1．第1章 随机事件与概率 2．第2章

3．第3章 统计推断

下面根据课程的基本要求，指明各章学习要点，并给出一些练习，供学习参考.

第九章 空间解析几何与向量代数

一、学习要点

1.关于空间直角坐标系与向量 两点间的距离公式

设空间两点M1=(x1，y1，z1)，M2=(x2，y2，z2)，则M1与M2之间的距离

M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

向量的坐标表示

向量是本章重点，它是学习平面和空间直线知识的基本工具

??设a=(a1，a 2，a3)，b=(b1，b2，b3)是两个向量，有关向量有如下一些基本概念要掌握：

模 ?a?=a1?a2?a3 方向余弦

?222aa1acos???,cos???2,cos???3

aaa且Cos2?+Cos2?+Cos2?=1

???????a,b??a1b1?a2b2?a3b3，两个向量的数量积是一个数. 数量积 a?b?abcos

??向量积 a?b?a1a2a3=(a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1)，两个向量的向量积是一个向量.

b1b2b3??????????????a?b?absin?a,b?;a?b?a和b;a,b,a?b成右手系.

两个向量平行或垂直的充分必要条件

?i?j?k????a?b?a?b?0 ????a∥b?a?kb或

?????a∥b?a?b?0

2.关于平面

熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求平面方程、点到平面的距离.

?求平面方程的关键是找出法方向n=(A，B，C)。

?过点(x0，y0，z0)以n为法方向的平面方程为 A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)=0

?平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0，法方向：n=(A，B，C)

点(x1，y1，z1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 d=

Ax1?By1?Cz1?DA?B?C222

3.关于空间直线 掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程，会作方程间互化并求直线方程.会用方向向量讨论平面、直线以及它们之间的位置关系.

?建立直线方程的关键也是确定其方向向量l=(a，b，c)。 ?过点(x0，y0，z0)以l为方向向量的直线方程是

x?x0y?y0z?z0??(标准方程) abc?x?x0?at?由标准方程化为参数方程得 ?y?y0?bt

?z?z?ct0?两平面的交线为一直线，即直线的一般方程为

?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0?????方向向量 l?n1?n2,其中n1?(A1,B1,C1),n2?(A2,B2,C2)。

4. 关于平面与平面、直线与直线、平面与直线的位置关系： （1）平面?1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法方向n1?(A1,B1,C1)； 平面?2：A2x+B2y+C2z+D2=0，法方向n2?(A2,B2,C2) ?1???2 ?n1∥n2即

????ABCABCD1?1?1；?1与?2重合? 1?1?1?1 AB2C2A2B2C2D22?1??2?n1?n2，即A1A2+B1B2+C1C2=0 系数不满足以上条件时，两平面斜交.

????（2）直线l1：方向向量l1?(a1,b1,c1)；直线l2：方向向量，l2?(a2,b2,c2)

??a1b1c1l1 ??l2?l1∥l2即 ??a2b2c2l1?l2?l1?l2，即a1a2+b1b2+c1c2=0

系数不满足以上条件时，两直线斜交.

?（3） 直线l1：方向向量l1?(a1,b1,c1)

平面?1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法方向n1?(A1,B1,C1)

???l1 ???1?l1?n1即a1A1?b1B1?c1C1?0； ??a1b1c l1??1?l1∥n1即??1

A1B1C1

系数不满足以上条件时，直线与平面斜交. 5.关于二次曲面

了解以下一些二次曲面的方程特征以及图形特征。凡是缺少一个字母的方程，如x2?y2?4,y2?2x等都是柱面。 知道球面、椭球面、柱面和旋转抛物面的方程.

球面方程：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2，球心：(a，b，c)，半径：R

椭球面：

(x?a220)(y?y0)(z?z0)2a2?b2?c2?1 圆柱面：x2?y2?r2,(x?a)2?y2?a2 圆锥面：x2+y2=z2；旋转抛物面：z=x2+y2 二、练习题

（一）填空题 1. 直线

x?1?1?y?12?z2与z轴夹角的余弦是 . 2. 设直线

x?1?1z1?y2?5在平面x+2y－ z+k=0上，则 k=______.

3. 球面x 2－2x+y 2＋y+z 2=0的球心是______.

4. 点（－1，－2，－1）到平面x?2y?2z?5?0的距离d= . （二）选择题

1.同时与向量a?={2，1，4}和z轴垂直的向量是 ( )

A. {－2，1，0} B. {1，－2，0} C. {2，1，0} D. {1，2，0} 2．若一直线的方向向量为{3,3,2}，则此直线与z轴的夹角是（ ）。A. 0

B.

?3 C.

??2 D.

4 3. 设向量a??j?3k,b?12j?32k，那么（ ）。 A.a?b

B. a∥b且a,b同向 C. a∥b且a,b反向

D. a与b既不平行，也不垂直

4.与向量a={1，0，－1} 垂直的单位向量是( ) A.{－1，0，1} B. {1，0，1} C. {

112,0,2} D.{1/2， 0，1/2}

5．方程y+z=0 的图形是( )的平面.

A.平行于坐标面yz B.平行于y轴 C.过x轴 D.平行于z轴 6. 直线 ??2x?z?1?x?y?z?0 的方向向量是 ( )

?A.?ijk??1?1?1??? B.?ijk??210??ijk??ij? C.??21?1?? D.??1?1??201????1?1?1????1?1?1????21

（三）计算题

k??1??

0??

1．求过点(1，1，1)且平行于直线??3x?y?z?2x?2y?1z??的平面方程. 与 2?11?2x?z?2?0 2.写出二平面3x－5y+z=0和x+2y－z=3交线方程的标准形式.

3.求通过z轴和点P0（1，1，－1)的平面方程.

4.求通过点M0(1，0，1)且垂直于向量s1={1，2，1}和s2＝{3，1，0}的直线方程. 5.求过点(2，1，7) 且与xOy平面的交线是??x?y?3的平面方程.

?z?0 三、练习题答案

（一）1.2/3； 2.1 ； 3.(1，－1/2，0)； 4.4

（二）1．B； 2.B (三) 1.x－3y+z+1=0 ； 4. x?1y?1?3?z?1?5；

3.C 4.C 5.C； 6.A；

x?34z?92. 3?y4?411 ；3.z+1=0； 5. x?y?3。