2020高考数学(文)二轮复习讲义《专题一 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题)》

即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD， 3

∴cos∠BCD＝2cos2∠ACB－1＝－，

5∵cos∠ACB>0，∴cos∠ACB＝

5， 5

5， 5

∵在△ABC中，BC＝1，AB＝2，cos∠ACB＝

∴由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB可得， 25AC2－AC－3＝0，

5

35

解得AC＝5，或AC＝－(舍去)，

5∴AC的长为5. 3

(2)∵cos∠BCD＝－，

5

4

∴sin∠BCD＝1－cos2∠BCD＝，

5又∵∠CBD＝45°，

∴sin∠CDB＝sin(180°－∠BCD－45°) ＝sin(∠BCD＋45°) ＝

22

(sin∠BCD＋cos∠BCD)＝， 210

BCCD

＝，

sin∠CDBsin∠CBD

∴在△BCD中，由正弦定理

BC·sin∠CBD

可得CD＝＝5，即CD的长为5.

sin∠CDB

跟踪演练3 (2019·淮南模拟)如图，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且AC＝3，AD＝

321

，O为△ABC外接圆的圆心，且cos∠BOC＝－. 23

(1)求sin∠BAC的值； (2)求△ABC的面积．

解 (1)如图所示，∠BOC＝2∠BAC，

∴cos∠BOC＝cos 2∠BAC 1

＝1－2sin2∠BAC＝－，

326

∴sin2∠BAC＝，sin∠BAC＝. 33

(2)延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE， 则四边形ABEC为平行四边形， ∴CE＝AB，

在△ACE中，AE＝2AD＝32，AC＝3， ∠ACE＝π－∠BAC，

cos∠ACE＝－cos∠BAC＝－1－?

6?3??

2

＝－33

， 由余弦定理得，

AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos∠ACE， 即(32)2＝(3)2＋CE2－2×3·CE×?－

3?

3??

， 解得CE＝3，∴AB＝CE＝3， ∴S1

△ABC＝2AB·AC·sin∠BAC

＝12×3×3×6323＝2

. 真题体验

(2019·全国Ⅲ，文，18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin (1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理， A＋C得sin Asin＝sin Bsin A.

2因为sin A≠0，所以sin

A＋C

＝sin B. 2

A＋CB

＝cos ， 22

A＋C

＝bsin A. 2

由A＋B＋C＝180°，可得sin BBB故cos ＝2sin cos .

222

BB1

因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.

222(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝

3

a. 4

－C?csin Asin?120°31

由正弦定理，得a＝＝＝＋.

sin Csin C2tan C2

由于△ABC为锐角三角形，故0°

故

33?. ，2??8

因此，△ABC面积的取值范围是?