【最新!决胜高考精品高中数学课件-教师版】人教版数学必修五--解三角形的实际应用

解三角形的实际应用

知识集结

知识元

解三角形的应用

知识讲解

1．解三角形 【知识点的知识】

1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．

2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．

3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．

4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．

5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度． 6．俯角和仰角的概念：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题

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①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB； ③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径） ④S△ABC＝；

⑤S△ABC＝

，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（ r为△ABC内切圆的半径）

在解三角形时，常用定理及公式如下表：

名称 公式 内角和定理 A+B+C＝π 余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC 正弦定理 ＝2R R为△ABC的外接圆半径 射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a 面积公式 ①S△＝aha＝bhb＝chc ②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA 2 / 13

变形 +＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C cosA＝ cosB＝ cosC＝ a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA＝，sinB＝，sinC＝ sinA＝ sinB＝

③S△＝④S△＝ ，（s＝ sinC＝ （a+b+c））； ⑤S△＝（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径）

例题精讲

解三角形的应用

例1.

（2019秋?镜湖区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=6，

A=，若该三角形有两解，则a的取值范围是（ ）

A．（3，6） C．（3，6） 【答案】A 【解析】 题干解析:

∵在△ABC中，b=6，A=

，

B．（0，3） D．（3，+∞） ∴由正弦定理得：sinB=∵A=∴0

，

，

==，

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要使三角形有两解，得到：∴<<1， 解得：3

例2.

（2019春?齐齐哈尔期末）如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在A点测得公路北侧山顶D的仰角为30°，汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度CD为（ ）

A．150m B．150m C．300m D．300m 【答案】D 【解析】 题干解析:

由题意可得在直角三角形DCA中，∠DAC=30°，DC⊥AC， 设CD=h，可得AC=htan60°=

h，

在直角三角形DCB中，∠DBC=45°，DC⊥BC， 可得CB=htan45°=h，

又∠CBA=120°，可得AC2=AB2+CB2-2AB?CB?cos120°， 即为3h2=3002+h2+300h， 解得h=300（负的舍去）。 故选：D．

例3.

（2019春?常州期中）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知b=

，

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