高考数学总复习第36“排列、组合”常考问题训练练习试题

(1)恰有1个盒子不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒子内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒子不放球，共有几种放法？

解 (1)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C4C4C3A2＝144(种).

(2)“恰有1个盒子内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒子内有2个球”与“恰有1个盒子不放球”是同一件事，所以共有144种放法. (3)确定2个空盒有C4种方法.

4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C4C1A2种方法；C4C22C4C222312

第二类有序均匀分组有2·A2种方法.故共有C4(C4C1A2＋2·A2)＝84(种).

A2A2点评 (1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.

(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.

(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.

变式训练3 (1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)

(2)把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且A、B两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有( ) A.36种 B.30种 C.24种 D.18种 答案 (1)480 (2)B

解析 (1)分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.

所以共有2(A2A3＋C3A3A2＋C3A4＋A5)＝480(种).

(2)由题意A、B两件玩具不能分给同一个人，因此分法为C3(C4－1)A2＝3×5×2＝30(种).

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高考题型精练

1.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )

A.24种 B.60种 C.90种 D.120种 答案 B

解析 五人并排站成一排，有A5种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能15

的，则B站在A的右边的排法共有A5＝60(种).

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2.A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )

A.60种 B.48种 C.30种 D.24种 答案 B

解析 由题知，不同的座次有A2A4＝48(种).

3.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A.10种 B.8种 C.9种 D.12种 答案 D

解析 第一步，为甲地选一名老师，有C2＝2(种)选法；第二步，为甲地选两个学生，有C4＝6(种)选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种).

4.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知花卷数量不足，仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为( ) A.144 B.132 C.96 D.48 答案 B

解析 分类讨论：甲选花卷，其余4人中有2人选同一种主食，方法有C4C3＝18(种)，剩下2人选其余主食，方法有A2＝2(种)，共有方法18×2＝36(种)；甲不选花卷，其余4人中有1人选花卷，方法有4种，甲选包子或面条，方法有2种，其余3人若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法有3A2＝6(种)，若没有人选甲选的主食，方法有C3A2＝6(种)，共有4×2×(6＋6)＝96(种)，故共有36＋96＝132(种)，故选B.

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5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A.232 B.252 C.472 D.484 答案 C

解析 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C4C12＝264(种)； 第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C12－3C4＝220－12＝208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种).

6.如图，用6种不同的颜色把图A，B，C，D，4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种(用数字作答).

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答案 480

解析 从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法，由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480(种)涂色方法.

7.某城市的交通道路如图，从城市的西南角A到城市东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数是________.

答案 66

解析 从城市的西南角A到城市的东北角B，最近的走法种数共有C9＝126(种)走法，从城市的西南角A经过十字道口维修处C，最近的走法有C5＝10(种)，从C到城市的东北角B，最近的走法有C4＝6(种)，所以从城市西南角A到城市的东北角B，经过十字道路维修处C最近的走法有10×6＝60(种)，所以从城市的西南角A到城市东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法有126－60＝66(种).

8.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这个三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________. 答案 240

解析 可根据中间数进行分类，中间数依次可为2，3，4，5，6，7，8，9，然后确定百位

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和个位，共有1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＝240(个). 9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________. 答案 72

解析 先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个，有C4种不同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A3种可能情况，其余3个热点的安排顺序有A3种，故不同调查顺序的种数为C4A3A3＝72.

10.一个质点从原点出发，每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第8秒末到达点P(4，2)的跳法共有________种. 答案 448

解析 分两类情况讨论：

第一类：向右跳4次，向上跳3次，向下跳1次，有C8C4＝280(种)； 第二类，向右跳5次，向上跳2次，向左跳1次，有C8C3＝168(种)； 根据分类加法计数原理得，共有280＋168＝448(种)方法.

11.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答) 答案 60

解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A4种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C3种分法，再分给4人有A4种分法，所以不同获奖情况种数为A4＋C3A4＝24＋36＝60.

12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解 如图所示，将4个小方格依次编号为1，2，3，4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.

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①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A4＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3

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