高考数学总复习第36“排列、组合”常考问题训练练习试题

第36 “排列、组合”常考问题

[题型分析·高考展望] 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.

体验高考

1.(2018·四川)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )

A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案 B

解析 由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A4＝72(个)；若万位是4，则有2×A4＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个).选B.

2.(2018·课标全国甲)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于

3

3

G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A.24 B.18 C.12 D.9 答案 B

解析 从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18(种)，故选B.

3.(2018·四川)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72 答案 D

解析 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C3，再将剩下的4个数字排列得到A4，则满足条件的五位数有C3·A4＝72(个).选D.

4.(2018·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么

1

4

1

4

全班共写了________条毕业留言(用数字作答). 答案 1 560

解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40＝40×39＝1 560(条)毕业留言.

2

高考必会题型

题型一 排列问题

例1 (1)在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为( ) A.150 B.200 C.600 D.1 200

(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________. 答案 (1)D (2)480

解析 (1)由已知，第一颗棋子有5×5＝25(种)放法，由于放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，所以第二颗棋子有4×4＝16(种)放法，第三颗棋子有3×3＝9(种)放法，第四颗棋子有2×2＝4(种)放法，第五颗棋子有1种放法，又由于黑子、白子25×16×9×4×1

分别相同，所以不同的排列方法种数为＝1 200，选D.

3×2×1×2×1(2)方法一 (位置分析法)

先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A5种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A4种站法.由分步乘法计数原理，知共有A5A4＝480(种)不同的站法.

方法二 (元素分析法)

先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A4种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A5种站法.由分步乘法计数原理，知共有A4A5＝480(种)不同的站法. 方法三 (反面求解法)

6人没有限制的排队有A6种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A5种站法，因此符合条件的不同站法共有A6－2A5＝480(种). 点评 求解排列问题的常用方法

6

5

6

5

15

1

5

4

24

2

(1)特殊元素(特殊位置)优先法； (2)相邻问题捆绑法； (3)不相邻问题插空法； (4)定序问题缩倍法； (5)多排问题一排法.

变式训练1 (1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24

(2)有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： ①5位同学站成一排，有________种不同的方法；

②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有________种不同的方法. 答案 (1)D (2)①120 ②24

解析 (1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝24. (2)①A5＝120.

②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，故有A2A2A3＝24种不同的排法. 题型二 组合问题

例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法. (1)至少有2名外籍搜救队队员； (2)至多有3名外籍搜救队队员. 解 (1)方法一 (直接法)

由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类： ①有2名外籍队员，共有C7·C4种组队方法； ②有3名外籍队员，共有C7·C4种组队方法； ③有4名外籍队员，共有C7·C4种组队方法.

根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C7·C4＋C7·C4＋C7·C4＝301(种)不同的组队方法. 方法二 (间接法)

由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：

3

2

2

3

1

4

1

4

2

3

3

2

222

53

①只有1名外籍搜救队队员，共有C7C4种组队方法； ②没有外籍搜救队队员，共有C7C4种组队方法.

所以至少有2名外籍搜救队队员共有C11－C7C4－C7C4＝301(种)不同的组队方法. (2)方法一 (直接法)

由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类： ①有3名外籍搜救队队员，共有C7C4种方法； ②有2名外籍搜救队队员，共有C7C4种方法； ③有1名外籍搜救队队员，共有C7C4种方法； ④没有外籍搜救队队员，共有C7种方法.

由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C7C4＋C7C4＋C7C4＋C7＝455(种)不同的组队方法. 方法二 (间接法)

由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C7C4种组队方法，所以至多有3名外籍搜救队队员共有C11－C7C4＝455(种)不同组队方法.

点评 (1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题. (2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准. (3)判断是否为“分组”问题，避免重复.

变式训练2 (1)从不同号码的三双靴子中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为( ) A.12 B.24 C.36 D.72

(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________.(用数字作答) 答案 (1)A (2)590

解析 (1)恰好有一双的取法种数为C3C2C2＝12.

(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C3(C4C5＋C4C5＋C4C5)＝360(种). ②选2名骨科医生，则有C3(C4C5＋C4C5)＝210(种). ③选3名骨科医生，则有C3C4C5＝20(种).

∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590. 题型三 排列与组合的综合应用问题

例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.

3112

12

21

1

13

22

31

111

5

14

14

23

32

41

5

5

413223

5

41

50

50

41