广东省东莞市第七中学14—15学年上学期高二第一次月考数学（附答案）

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2025/6/17 17:45:22

甲种烟花乙种烟花原料限额 3 2 120 4 11 400 4 6 240 设每天生产甲种烟花x枚、乙种烟花y枚,获利为z美元,则目标函数z=1.2x+y(美元). ┄┄┄---------------------------------------------------------┄┄1分其中x、y应满足:

?x?0,?y?0,???3x?2y?120,┄┄┄-----------------------------------┄┄┄┄┄┄7分 ?4x?11y?400,???4x?6y?240.

作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图所示.

┄┄┄---------------┄9分

把z=1.2x+y变形为平行直线系l:y=-1.2x+z.

由图可知,当直线l经过平面区域上的点M时,截距z最大. 解方程组??4x?6y?240?0,┄┄-------------------------┄12分

3x?2y?120?0,? 得交点M(24,24). ----------------------------------------┄13分

故每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚,能使利润最大. ------┄14分

18(14分) 一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12 nmile的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45??的方向去追,.求追击所需的时间和?角的正弦值. ???北东 C

A B解: 设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过

x 小时后在B处追上, ……1分

则有 AB?14x,BC?10x,?ACB?120.

?(14x)2?122?(10x)2?240xcos120 ……6分

?x?2,AB?28,BC?20, ……8分

∴sin??BCsin12020sin12053??. ……12分

AB281453. ……14分 14所以所需时间2小时, sin??

19.(14分) 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c?2，

C??．（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a，b；（Ⅱ）若sinB?2sinA，求△ABC322的面积．

解：（Ⅰ）由余弦定理得，a?b?ab?4，又因为△ABC的面积等于3，所以1absinC?3，得ab?4． ························ 4分 2?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?2，b?2． ·············································· 6分

ab?4，?（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为b?2a， ························································· 8分

?a2?b2?ab?4，2343联立方程组?解得a?，b?． ··································· 12分

33b?2a，?所以△ABC的面积S?123． ····················································· 14分 absinC?2320.（ 14分）（Ⅰ）设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足?2?m?2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；

（Ⅱ）是否存在m使得不等式2x－1＞m(x2－1)对满足?2?x?2的实数x的取值都成立．

(Ⅰ)解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切

实数都有2x－1＞m(x2－1)成立。

?1－31＋32＜x＜ ?f(2)＞0 ?2x－2x－1＞0，即?所以，?，即 22?2???f(－2)＞0 ?2x＋2x－3＜0?x＜－1－7或x＞－1＋7?22?

所以，7－1＜x＜3＋1。 ……………………………………7分

22(Ⅱ)令f(x)= 2x－1－m(x2－1)= －mx2+2x+(m－1)，使|x|≤2的一切实数都有2x－1＞m(x2

－1)成立。

当m?0时，f(x)= 2x－1在

1?x?2时，f(x)?0。（不满足题意） 2当m?0时，f(x)只需满足下式：