(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.1 导数概念及其运算(讲)

专题3.1 导数概念及其运算

【考纲解读】

要 求 内 容 A B C √导数的概念 导数及导数的几何意义 其应用 √ √导数的运算 【直击考点】

题组一 常识题

1．[教材改编] 某斜抛物体抛出后相对于水平面的高度h(m)与抛出后的时间t(s)的函数关系是h(t)＝－t＋6t＋10，则在3≤t≤4这段时间内的平均速度为________m/s.

【解析】 平均速度为

2

备注 h（4）－h（3）18－19

4－3

＝

1

2

＝－1(m/s)．

2．[教材改编] 已知函数f(x)＝5－3x＋2x，且f′(a)＝－1，则a＝________． 1

【解析】 由题意可知，f′(x)＝－3＋4x，所以f′(a)＝－3＋4a＝－1，解得a＝.

23．[教材改编] 曲线y＝2x－3x＋5在点(2，15)处的切线的斜率为________． 【解析】 因为y′＝6x－3，所以在点(2，9)处切线的斜率k＝6×2－3＝21. 题组二 常错题

4．若函数f(x)＝4x＋a＋a，则f′(x)＝__________．

【解析】 f′(x)＝(4x＋a＋a)′＝12x.本题易出现一种求导错解：f′(x)＝12x＋2a＋1，没弄清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.

ln x5．函数y＝x的导函数为____________．

e

3

2

2

2

3

22

2

3

·e－e·ln xx1－xln x【解析】 y′＝＝.本题易出现用错商的求导法则的情况． x2

（e）xex题组三 常考题

6． 已知函数f(x)＝ax－x＋2的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，6)，则 a＝________．

3

1

xx

e

7． 函数y＝在其极值点处的切线方程为________________．

xxe（x－1）

【解析】 y′＝，令y′＝0，得x＝1，此时y＝e，即极值点为(1，e)，函数2xx在该点处的切线斜率为零，故切线方程为y＝e.

【知识清单】

1． 导数的运算

1．基本初等函数的导数公式

(sin x)′＝cosx，(cos x)′＝－sinx，(ax)′＝axlna，(ex)′＝ex，(logax)＝1xln a，(ln x)′＝1x. 2．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)?g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

′＝f′

3．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′?ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 考点2 导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

【考点深度剖析】

－

′

≠0)．

【重点难点突破】

考点1 导数的运算 【1-1】求下列函数的导数．

e＋1

(1)y＝xsin x；(2)y＝x；(3)y＝ln(2x－5)．

e－1

2

x－2e

【答案】(1) 2xsin x＋xcos x. (2) xe－1

2

x22

.(3) . 2x－5

【1-2】已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n?π??π??π?*

∈N，n≥2)，则f1??＋f2??＋…＋f2 014??＝________.

?2??2??2?

【答案】0

【解析】f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，

f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，

f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，

以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，

又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，

?π??π??π??π??π??π??π??π??π?∴f1??＋f2??＋…＋f2 014??＝503f1??＋f2??＋f3??＋f4??＋f1??＋f2??＝0. ?2??2??2??2??2??2??2??2??2?

【思想方法】

1． 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运

算量，提高运算速度，减少差错．

2． 复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求

导．

【温馨提醒】区别“积的导数”与“复合函数的导数”的差异 考点2 导数的几何意义

?π?【2-1】 已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′??，f′(x)是f(x)的导函数，则过

?4?

曲线y＝x上一点P(a，b)的切线方程为________.

【答案】3x－y－2＝0.

3

17

【2-2】已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，

22且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m等于________. 【答案】－2

1

【解析】∵f′(x)＝，

x∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，

又f(1)＝0，

∴切线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，

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则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x0＋mx0＋，m<0，

22于是解得m＝－2

【思想方法】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：