2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷（一）

2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)

1

11．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，2则满足2f(x)

A．{x|－11}

B．{x|x<1} D．{x|x>1}

[来源:学科网]解析：令g(x)＝2f(x)－x－1. 1

因为f′(x)>，

2

所以g′(x)＝2f′(x)－1>0. 所以g(x)为单调增函数．

因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0. 所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)

12．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，0) C．(0，＋∞)

2

B．(－∞，4] D．[4，＋∞)

3

解析：2xln x≥－x＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2ln x＋x＋(x>0)

x

2x＋2x－33

恒成立，设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0，

xx21)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．

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2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)

答案：B

二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)

13．已知y＝ln

1

1

2，则y′＝________． 1＋x

2

1112

解析：y＝ln＝ln(1＋x)－＝－ln(1＋x)，所以y′＝－

22221＋x1x

×·(2x)＝－. 22

1＋x1＋x

答案：－

x

1＋x232

14.∫－3(x－2sin x)dx＝________．

?13?3?1?32

???∫|解析：－3(x－2sin x)dx＝3x＋2cos x－3＝3×27＋2cos 3?－

?

?

?

?

?1?

?×（－27）＋2cos （－3）?＝18. ?3?

答案：18

15．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

[来源:学科网]解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－1

3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切

x线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.

答案：y＝－2x－1

16．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有根，则实数m的取值范围是________．

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解析：令f(x)＝x3－3x＋m，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．显然，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－1

因为f(x)＝0在[0，2]上有解，

?f（1）≤0，?m－2≤0，

所以?所以?

?f（2）≥0，?2＋m≥0，

所以－2≤m≤2. 答案：[－2，2]

三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

ex

17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝，求函数f(x)的单调区间．

x1x1xx－1x

解：f′(x)＝－2e＋e＝2e，

xxx由f′(x)＝0，得x＝1. 因为当x＜0时，f′(x)＜0； 当0＜x＜1时，f′(x)＜0； 当x＞1时，f′(x)＞0.

所以f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．

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x

18．(本小题满分12分)已知F(x)＝∫－x∈(－1，＋∞)． 1t(t－4)dt，

(1)求F(x)的单调区间；

(2)求函数F(x)在[1，5]上的最值．

x?13?1?132??2

????∫解：F(x)＝－1(t－4t)dt＝3t－2t－1＝x－2x－－－2?＝3????3?

x

2

137

x－2x2＋(x>－1)． 33

?137?2

(1)F′(x)＝?3x－2x＋3?′＝x2－4x，

??

由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－14；

由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0

(2)由(1)知F(x)在[1，4]上递减，在[4，5]上递增．

172172532

因为F(1)＝－2＋＝，F(4)＝×4－2×4＋＝－，F(5)

33333317

＝×53－2×52＋＝－6， 33

225所以F(x)在[1，5]上的最大值为，最小值为－. 33

1

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋

21(a>1)．

(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．

x（x－a＋1）a

解：(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，

x＋1x＋1所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

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