2009年全国中考数学压轴题精选精析（福建）

2009年全国中考数学压轴题精选精析（福建）

1.（09年福建龙岩）26．（14分）如图，抛物线y?12x?mx?n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为2矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说

明理由；

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若

存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. （09年福建龙岩26题解析）

解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB， 又D（5，2），

∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分

5?n?2???m?? ∴?12 解得?2

?5?5?m?n?2???2?n?2 ∴抛物线的解析式为：y?125x?x?2 …… 4分 22 （2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分 由y = 0，得

125x?x?2?0. 22 解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. …………………………… 6分 ∴OA=4，OB=1.

由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°， 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

∴点E的坐标为（3，－1）. ……………………………………………… 7分 把x=3代入y?12515x?x?2，得y??32??3?2??1， 2222 ∴点E在抛物线上. ………………………………………………………… 8分 （3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1. S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，

下面分两种情形：

1 ①当S1∶S2 =1∶3时，S1?(5?3)?2?5，

4此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a， 由△EPF∽△EQG，得

PFEF1??，则QG=9－3a， QGEG3

∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

19由S1=2，得(3a?6?a?1)?2?2，解得a?；………………… 11分

42 ②当S1∶S2=3∶1时，S1?3(5?3)?6?5 4此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

113由S1= 6，得(3a?6?a?1)?2?6，解得a?.

42综上所述：所求点P的坐标为（

913，0）或（，0）……… 14分 44 法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.

当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3， 此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.

1?k???3k?b??1?a?3设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则?，解得?，

aak?b?0??b???a?3?∴y?1a. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） …… 10分 x?a?3a?31(3a?6?a?1)?2?4a?7. 2∴CQ = 3a－6，BP = a－1，S1?下面分两种情形：

11①当S1∶S2 = 1∶3时，S1?S梯形ABCD??8= 2；

44∴4a－7 = 2，解得a?9；…………………………………………… 12分 433②当S1∶S2 = 3∶1时，S1?S梯形ABCD??8?6；

44 ∴4a－7 = 6，解得a?13；[来源:学#科#网] 4913，0）或（，0）………… 14分 44综上所述：所求点P的坐标为（

[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出a?

913或a?两个答案，就给6分. ] 442.（09年福建宁德）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点

2A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与

x轴相交于E、F两点（点E在点F的

C1 y M A O P B x C1 y N A O P 图2 图（2）B Q E 左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

F x

C2 C3 C4 图1 图（1）

（09年福建宁德26题解析）解：（1）由抛物线C1：y?a?x?2??5得

2顶点P的为（-2，-5） ………2分 ∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴0?a?1?2?2?5

5

解得，a＝ ………4分

9

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G

∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴顶点M的坐标为（4，5） ………6分

抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到

∴抛物线C3的表达式为y??5?x?4?2?5 ………8分 9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5

设点N坐标为（m，5） ………9分 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G

C1 A y N H B Q G E O P 图(2) K F x C4 作PK⊥NG于K

∵旋转中心Q在x轴上

∴EF＝AB＝2BH＝6

∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），

根据勾股定理得

PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104 PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50

NF2＝52+32＝34 ………10分

4419

①当∠PNF＝90o时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）

33

102

②当∠PFN＝90o时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）

33③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o

192

综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点

33的三角形是直角三角形． ………13分

3.（09年福建莆田）25．（14分）已知，如图1，过点E?0，?1?作平行于x轴的直线l，抛物线y?12x上的两点A、B的4横坐标分别为?1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF． （1）求点A、B、F的坐标；

（2）求证：CF?DF； （3）点P是抛物线y?12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ4与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

F A O D l C E （图1）

x y B F O C E 备用图

（第25题图）

D x y （09年福建莆田25题解析）25．（1）解:方法一，如图1，当x??1时,y?当x?4时,y?4

1 4∴A??1·································································· 1分 ，? ·········································································· 2分 B?4，4? ·设直线AB的解析式为y?kx?b ········································ 3分

??1?4?y B F A O C E D l x 13???k?b?k???则?4 解得?4 ???4k?b?4?b?1∴直线AB的解析式为y?当x?0时,y?1

（图1）

3x?1 ······································· 4分 4········································································································· 5分 ?F?01，? ·方法二:求A、B两点坐标同方法一,如图2,作FG?BD,AH?BD,

y B F G A H M O D l C E （图2）

垂足分别为G、H,交

y轴于点N,则四边形FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FO?x ····························

x ?△BGF∽△BHA

BGFG? BHAH4?x4····································································································· 4分 ?? ·

154?4解得x?1 ?······································································································· 5分 ?F?0，1? ·

(2)证明：方法一：在Rt△CEF中，CE?1,EF?2