A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

手

要点一：手拉手模型

拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC

变形：

例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD，证明 （1）?ABE??DBC

(2)AE与DC之间的夹角为60? (3)HB平分?AHC

变式精练1：如图两个等边三角形与?BCE，连结AE与CD， 证明（1）?ABE??DBC （2）AE与DC之间的夹角为60?

（3）AE与DC的交点设为H,BH平?AHC

变式精练2：如图两个等边三角形?ABD与?BCE，连结与CD，

证明（1）?ABE??DBC (2）AE与DC之间的夹角为60?

(3）AE与DC的交点设为H,HB平分?AHC

例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H 问：（1）?ADG??CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分?AHE？ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结

AG,CE,二者相交于点H

?ABD分

AE问：（1）?ADG??CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分?AHE？

例4：两个等腰三角形?ABD与?BCE，其中AB?BD,CB?EB,?ABD??CBE??,连结AE与CD，

问：（1）?ABE??DBC是否成立？ （2）AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度？ （4）HB是否平分?AHC？

例5：如图，点在同一条直线上，分别以AB、AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是

A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数

BC为边在直线AE、DC，AE与FE与FC之间的等边三角形，点

倍长与中点有关的线段

倍长中线类

考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

A△ABC中方式1：延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD， 连接BE

方式2：间接倍长 B作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，

连接BE连接CD DC线，转化三角

1【例1】 已知：?ABC中，AM是中线．求证：AM?(AB?AC)．

2AC?9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？ 【练1】在△ABC中，AB?5，E【练2】如图所示，在?ABC的AB边上取两点E、F，使AE?BF，连接CE、CF，求证：

AC?BC?EC?FC．

【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)

【例2】 如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是

AD上一点，延长BE交AC于F，AF?EF，求证：AC?BE．

【练1】如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是

一点，且BE?AC，延长BE交AC于F，求证：

AD上

AF?EF

【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G.求证：BF=CG.

∠BAC

【练3】如图，在?ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG?CF，求证：AD为?ABC的角平分线．

E、F分别在BD、【练4】如图所示，已知?ABC中， AD平分?BAC，AD上．DE?CD，EF?AC．

求证：EF∥AB

【例3】已知AM为?ABC的中线，?AMB，?AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BE?CF?EF． 【练1】在Rt?ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足?DFE?90?．若AD?3，BE?4，则线段DE的长度为_________．

【练2】如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，则∠BAC=______.

【练3】在?ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD?ND．

（1）若?A?90?，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

（2）如果BM2?CN2?DM2?DN2，求证AD2?1AB2?AC2?． ?4【例4】如图，等腰直角?ABC与等腰直角?BDE，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的关系.（证角相等方法） 【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q. 探究AP与EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）

【练2】如图，在?ABC中，CD?AB，?BAD??BDA，AE是BD边的中线.求证：AC?2AE 【例5】如图所示，在?ABC中，AB?AC，延长AB到D，使BD?AB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证CD?2EC．

【练1】已知?ABC中，AB?AC，BD为AB的延长线，且BD?AB，CE为?ABC的AB边上的中线．

求证：CD?2CE

【练2】如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.

【例16】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.

探究AP与EF的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）

【练1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点. ⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.

⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转?度数（??90?），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.

★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角

的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，?全等)

?ABC中，【例10】 如图所示，AD平分?BAC交BC于D。求证：AB=AC+CD。 ?C?900,?B?450，

【练1】如图所示，在?ABC中，?B?600，?ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。

【练2】已知?ABC中，?A?60?，BD、CE分别平分?ABC和

?ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关

系，并加以证明． B【练2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC. 【练3】已知：如图,在△ABC中,∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。求证：BC=AB+AD.

AAEOCEDDODABCBCA【练4】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC． 【例11】已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C（不只是边，倍角也适用）

【练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于点D．求证：1∠DBC＝∠BAC．

2【例12】如图所示，已知?1??2，P为BN上一点，且 PD?BC于D，AB+BC=2BD，求证：?BAP??BCP?1800。【练1】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC，

求证：?A??C?1800

【例13】如图所示，在Rt?ABC中，AB=AC，?BAC?900，

?ABD??CBD，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。 B【练1】已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．

BA12ANMBCDMPNDCDCC【练2】如图所示，在?ABC中，?ABC?900，AD为?BAC的平

A分线，?C=300，BE?AD于E点，求证：AC-AB=2BE。 【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AE?EF,交∠DCH的平分线于点F，求证AE=EF

【练4】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

EBDC