矩阵的特征值与特征向量

备课教案 第五章 矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量

§5.1 特征值与特征向量

设A是n阶矩阵，x是n维列向量，则Ax仍是n维列向量，但通常与原来 的向量x有很大差异。现在考虑Ax与x能否成比例（对应分量成比例）。如果存 在一个特殊的数?与一个特殊的非零向量x，使

Ax??x （5.1） 那么称?是矩阵A的特征值，x是A的对应于特征值?的特征向量。

为了求矩阵的特征值与特征向量，将（5.1）式移项，并提取公因子得到 (?E?A)x?0 （5.2） 这是齐次线性方程组的矩阵形式，它的系数矩阵是方阵??E?A?，齐次线性方程

组有非零解x的充分必要条件是系数行列式等于零（参看第一章的定理1.4），即

?E?A?0 （5.3）

由（5.3）式可求出特征值?，因此方程（5.3）称为矩阵A的特征方程。求得特

征值?后，就可以求解齐次线性方程组（5.2）了，具体做法是运用矩阵消元解法，

对系数矩阵作初等行变换，然后读出基础解系。

?3 例5.1 求矩阵A???5?1??的特征值和特征向量。 ?1??

解 先计算行列式 ?? ?E?A???0?0??3????????51???3???1??5?2?1??1

????3????1??5???2??8

于是特征方程即一元二次方程??2??8?0。求得两个特征值为

?1??2 ， ?2?4

当?1??2时，解齐次线性方程组（5.2），即作初等行变换 ??1E?A???????2?3?5?1???5?????2?1????52??1???5?????0?1??1?? ?0??1? 最后的矩阵中，第1列是非主元列，于是读出基础解系?1????5??。对应于特征

??

值?1??2的全部特征向量是c1?1，c1是任意非零常数。 当?2?4时，类似地作初等行变换 ?1 ??2E?A?????5

读出基础解系?2???1????意非零常数。

?1?

，对应于特征值?2?4的全部特征向量是c2?2，c2是任

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??1????1???5??01?? 0?备课教案 第五章 矩阵的特征值与特征向量

当A是n阶矩阵时，?E?A是n阶行列式，其对角线上元素都含有未知数 ?，而其他元素都是矩阵的对应元素的相反数，因此它的展开式是n次多项式， 称之为A的特征多项式。相应地，称矩阵??E?A?为A的特征矩阵。特征方程 （5.3）是n次代数方程，它有n个根（可能有重根或复数根）。

齐次线性方程组（5.2）当?满足（5.3）式时一定有基础解系。构成基础解 系的特征向量称为矩阵A的基础特征向量。如例5.1中的矩阵A有2个基础特征

向量?和?。基础特征向量的线性组合给出了全部特征向量。

12?2? 例5.2 求矩阵A??2??2?25?4?2???4?的特征值和特征向量。 5??

解 先解特征方程

??2 ?E?A??2?224?0

24??5

为了简化计算，可先将行列式的第3行加到第2行，然后提取公因子???1?，再

2计算行列式，可得方程???1????10??0，所以特征值是?1??2?1,?3?10。

当??1时，对特征矩阵作初等行变换 ??E?A?2?[?1]?2?????2?44???24?4????12??2???000 ???000?????5

??2??2?????读出基础解系?1??1?，?2??0?

?0??1????? 当??10时，对特征矩阵作初等行变换 ??E?A??8???2??2??254[2?]4?1???4??18[9]????5??189???1???0?????0??2201?0?0 1?0??0读出基础解系?3?1?????2? ??2??? 对应于??1的全部特征向量是c1?1?c2?2，其中c1,c2是任意不全为零的

常数；对应于??10的全部特征向量是c3?3，其中c3是任意非零常数。

应该指出的是，线性组合必须在对应于同一特征值的基础特征向量之中进行，

比如本例中当c1c2c3?0时，线性组合c1?1?c2?2?c3?3不再是矩阵A的特征

向量。

?110?? ??例5.3 求矩阵A???430?的特征值和特征向量。

?102? ??

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备课教案 第五章 矩阵的特征值与特征向量

解 先解特征方程

??1 ?E?A?4?1?100????2????1??0

2??30

??2得特征值?1?2，?2??3?1。

当??2时，对特征矩阵作初等行变换 ?1?3?4?1 ??[?1]0?0??0???0?T?0?[1]?0??0?10????10???0?????0??01 0??000?1

?1读出基础解系?1??0,?2? 4???1?0,1?。

当??1时，对特征矩阵作初等行变换

[?1]?202,00????21???0?000???????]?1?[1??10???1?。

T?21????10 1???00???0读出基础解系?2??1,任意非零常数。

全部特征向量是c1?1(对应于??2)和c2?2（对应于??1），其中c1,c2是

§5.2 矩阵的相似与矩阵的对角化

设A、B都是n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得

?1PAP?B （5.4）

则称A与B相似，或称A经过相似变换P?1AP变换成B，记为A∽B。

矩阵的相似具有以下性质： 1．反身性：A∽A；

因为E?1AE?A，所以A∽A。 2．对称性：若A∽B，则B∽A；

A∽B意味着P?1AP?B，等式两端左乘P、右乘P?P??1?1B?P?1??

，得

A，所以B∽A。

?1 3．传递性：若A∽B，B∽C，则A∽C。

由条件P?1AP?B，Q即?PQBQ?C，以前式代入后式得Q?1P?1APQ?C，

??1A?PQ??C，所以A∽C。

要判断两个矩阵A、B是否相似比较困难，因为很难直接找到（5.4）式中的变换矩阵P。不过我们可以通过相似变换把A、B都变为比较简单的矩阵，再通过传递性说明它们是否相似。最简单的矩阵莫过于对角矩阵。

若矩阵A能通过相似变换化为对角矩阵，则称矩阵A可以对角化。对角化 是指存在可逆矩阵P、对角矩阵?，使P?1AP??，即A∽?。

1? ?3例5.4 将矩阵A???5?1??对角化。 ??

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备课教案 第五章 矩阵的特征值与特征向量

解 在例5.1中，已求得矩阵A的两个特征向量?1，?2（分别对应特征值

，按照（5.1）式，应有A?1?λ1?1，A?2?λ2?2，拼成矩 ?1??2，?2?4）

阵即

A??1,?2???A?1,?1?2?????5?A?2???λ1?1,1???1?，????01????1λ2?2????1,0???2?????2???0?λ1?2???0?0?? ?λ2?

记P???1,0??，即有AP?P?， 4??

由于矩阵P显然可逆，所以PAP??，矩阵A已对角化。

本例的结果可以直接推广到n阶矩阵，设A是n阶矩阵，?1,?2,?,?n是A的分别对应于特征值?1,?2,?,?n的n个特征向量，它们可以拼成一个n阶方阵。

记

??1??0?n? ，??????0?0????P???1,?2,?,?2?00??0? ????n??

若矩阵P可逆，则A已对角化。n阶方阵可逆与满秩是同一概念，而满秩即意味

着列向量?1,?2,?,?n线性无关（参看第四章的（4.3）式）。然而特征向量并非 根据（5.1）式和矩阵的乘法规则，必有

AP?P? （5.5） 总是线性无关的，不过我们从例5.1～例5.3能够猜测到以下定理：

定理5.1 方阵A的所有基础特征向量线性无关。 证明定理可在（4.2）式的基础上反复运用（5.1）式，因证明较长，此处从略。 由于线性无关的n维向量个数不会超过n个（参看定理4.5），所以矩阵A的基础 特征向量的个数不会超过A的阶数。根据（5.5）式及矩阵P可逆的条件可得：

定理5.2 n阶方阵A可以对角化的充分必要条件是它的基础特征向量的个 数等于n。 下面将矩阵对角化问题作几点归纳： 1．若矩阵A的特征方程（5.3）没有重根，则A一定可以对角化。 这是因为每个特征值至少提供一个基础特征向量，n个不同的特征值恰好提 供n个基础特征向量。 2．若矩阵A的特征方程（5.3）有重根，则A可否对角化要看齐次线性方程 组（5.2）的求解情况。当基础特征向量个数等于n时，可以对角化，如例5.2； 当基础特征向量的个数不足时，不可以对角化，即矩阵A不可能与对角矩阵相似， 如例5.3。

3．如果矩阵A可以对角化，那么相似变换矩阵P由A的n个基础特征向量 拼接而成。对角矩阵?作为相似变换的结果由对应的n个特征值构成，而且这些 特征值的排列顺序与矩阵P中特征向量的排列顺序一致。 矩阵的相似变换为求矩阵的乘幂带来了方便。比如利用（5.4）式，可得：

?13 B??PAP??PAP??PAP??PA?PP?A?PP?AP?PAP

33?1从而A?PBP。一般地，如果A∽B，则有乘幂公式

3?1?1?1?1?1?1

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