高中数学 3.1变化率与导数教案 新人教A版选修1-1

与导数教案 新人教A版选修1-1

[教学目的]

1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 [教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发，自学演练。 [授课类型]：新授课 [课时安排]：1课时

[教 具]：多媒体、实物投影仪

[教学过程]

一、复习提问(导数定义的引入)

1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系h?t???4.9t?6.5t?10，那么我们就会计算任意一段的

2平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

表格1

表格2

?t?0时，在?2??t,2?这段时间内 h?2??h?2??t?4.9?t2?13.1?tv?? 2??2??t???t??4.9?t?13.1?t?0时，在?2,2??t?这段时间内 h?2??t??h?2??4.9?t2?13.1?tv???2??t??2?t??4.9?t?13.1

当?t??0.01时，v??13.051； 当?t??0.001时，v??13.095 1；

当?t?0.01时，v??13.149； 当?t?0.001时，v??13.104 9；

当?t??0.000 1时，v??13.099 51； 当?t?0.000 1时，v??13.100 49； 当?t??0.000 01时，v??13.099 951； 当?t?0.000 01时，v??13.100 049；

v??13.100 当?t??0.000 001时，v??13.099 995 当?t?0.000 001时，004 9；

1；

。。。。。。 。。。。。。

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当?t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1m/s。

3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段?2??t,2?上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段?2,2??t?上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1m/s。

分析:t?2秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1m/s。

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1m/s，现在我们一起回忆一下是如何得到的：

首先，算出?2,2??t?上的平均速度

h?2??t??h?2?=?4.9?t?13.1，接着观察当?t趋

?t近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为

了表述方便，我们用

h?2??t??h?2???13.1 lim?t?t?0表示“当t?2，?t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”。

思考：当?t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当?t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值?13.1．

从物理的角度看，时间?t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t?2时的瞬时速度是?13.1m/s 为了表述方便，我们用limh(2??t)?h(2)??13.1

?t?0?t表示“当t?2，?t趋近于0时，平均速度v趋近于定值?13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的

近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3．函数y?f?x?在x?x0处的瞬时变化率如何表示？ 导数的定义（板书） 函数y??ff?x?在x?x0处的瞬时变化率是lim?x?0?x?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)，

?x'我们称它为函数y?f?x?在x?x0处的导数，记作f?x0?或y'|x?x0，

'即f?x0?=limf(x0??x)?f(x0)?f?lim。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为

?x?0?x?x?0?xh'?2???13.1或y'|t?2??13.1。

附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：f'?x?=?limx?0f(x0)?f(x0??x)?y?lim； ?x?0(?x)?x

f'?x?=xlim?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y'?lim；f?x?=lim； x?x0??x?00(?x)x?x0??xf(x)?f(x0)

x?x0?x?x?x0，当?x?0时，x?x0，所以f?(x0)?lim?x?0 ③求函数y?f?x?在x?x0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。 三．典例分析

2

例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.

?f?f2

分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx), 再求?6??x再求lim?6

?x?x?0?x3x2?3?123(x2?12)?lim?lim3(x?1)?6 解：法一（略）； 法二：y?|x?1?limx?1x?1x?1x?1x?1（2）求函数f(x)=?x?x在x??1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x 解：?x?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??lim(3??x)?3 f?(?1)?lim?x?0?x?x?0?x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)?x?7x?15(0?x?8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6) 根据导数定义，

''2f(2??x)?f(x0)?f ??x?x(2??x)2?7(2??x)?15?(22?7?2?15)???x?3

?x所以f?(2)?lim?f?lim(?x?3)??3；同理可得:f?(6)?5

?x?0?x?x?0