2020年（河南）中考数学压轴题全揭秘精品专题10 一次函数与反比例函数综合题含答案

专题10一次函数与反比例函数综合题

【例1】（2019·偃师一模）如图，直线l：y=ax+b交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点B(0，-3)，交反比例函数

y ?于第一象限的点P，点P的横坐标为4.

k（1）求反比例函数y ?的解析式；

xk（2）过点P作直线l的垂线l1，交反比例函数y?的图象于点C，求△OPC的面积.

xkx

【答案】见解析.

【解析】解：（1）△y=ax+b 交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点 B(0，-3)， △3a+b=0，b=－3， 解得：a=1，

即l1的解析式为：y=x－3， 当x=4时，y=1，即P（4,1），

k将P点坐标代入y?得：k=4，

x

即反比函数的解析式为：y?

4； x（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E，D，

△OA=OB=3， △△OAB=△OBA=45°， △l△l1， △△DPB=90°， △△ODP=45°，

设直线l1的解析式为：y=－x+b， 将点P(4,1)代入得：b=5，

4联立：y=－x+5，y?，解得：

xx=1，y=4或x=4，y=1， 即C(1,4)，

△S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE

111=×5×5－×5×1－×5×1 222=

15. 2【变式1-1】（2018·河南第一次大联考）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=–图象经过点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

1kx+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y?的2x

【答案】见解析.

【解析】解：（1）△B（4,2），四边形OABC为矩形， △OA=BC=2， 在y=–

1x+3中，y=2时，x=2， 2即M(2,2),

k得：k=4， x4△反比例函数的解析式为：y?.

x4（2）在y?中，当x=4时，y=1，

x将M（2，2）代入y?即CN=1，

△S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON

=4×2－=4，

△S△OPM=4， 即

11×2×2－×4×1 221·OP·OA=4， 2△OA=2， △OP=4，

△点P的坐标为（4,0）或（－4,0）.

【例2】（2019·济源一模）已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数y ?

m（x＞0）的图象交xOC1于点P，PA△x 轴于点A，PB△y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△DBP=27，?.

CA2（1）求点 D 的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式；

（3）根据图象写出x取何值时，一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数y ?

m的值． x

【答案】见解析.

【解析】解：（1）△一次函数y=kx+3与y轴相交， △令x=0，解得y=3， △D的坐标为（0，3）；

（2）△OD△OA，AP△OA，△DCO=△ACP，△DOC=△CAP=90°， △Rt△COD△Rt△CAP， △

ODOC1??，OD=3， APAC2△AP=OB=6， △DB=OD+OB=9， △S△DBP=27， 即

DP?BP＝27， 2△BP=6， △P（6，-6），

把P坐标代入y=kx+3，得到k=?则一次函数的解析式为：y＝?3， 23x+3； 2把P坐标代入反比例函数解析式得：m=－36，

36； x363（3）联立y＝?，y＝?x+3得：

2x则反比例解析式为：y＝?x=－4，y=9或x=6，y=－6，

即直线与双曲线两个交点坐标为（－4,9），（6，－6），

△当x＞6或－4＜x＜0时，一次函数的值小于反比例函数的值．

【变式2-1】（2019·洛阳三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABDC 的顶点 D，C 在反比例函数y=