人教A版高中数学必修五高一：平面向量期末复习练习新

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高一数学复习——平面向量

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一、 复习要点

1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：

运 算 图形语言 符号语言 ????????????坐标语言 记OA=(x1,y1)，OB=(x1,y2) 则OA+OB=(x1+x2,y1+y2) （x2-x1,y2-y1） AB?OB-OA=??????OA+OB=OC 加法与减法 ?????????OB-OA=AB ????????? 实数与向量 的乘积 两个向量 的数量积 2．重要定理、公式 OA+AB=OB ?????????????? AB=λa λ∈R 记a=(x,y) 则λa=(λx,λy) ??a·b=|a||b| cos ?????记a=(x1,y1), b=(x2,y2) 则a·b=x1x2+y1y2 ????（1）向量共线定理：如果有一个实数?使b??a(a?0),那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a?0)是共线向量，那么有且只有一个实数?，使b??a。

（2）平面向量基本定理；如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面

??内任一向量a，有且只有一对数数λ1，λ2，满足a=λ

?????1

e1+λ

??2

e2。

（3）两个向量平行 ：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b?b??a ?x1y2-x2y1=0 （4）两个向量垂直：设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则a⊥b?a?b?0?x1x2+y1y2=0

?????1???????（5）线段定比分点公式: 设P1P??PP2, 则OP?OPOP2 1?1??1???????????x1??x2?x???1?? 设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）,则??y?y1??y2?1???二、 例题讲解

c及b与c夹角。 1、平面向量a?(3,,?4),b?(2,x),c?(2,y),已知a∥b，a?c，求b、

2、已知向量m= (cos?,sin?)和n=(2?sin?,cos?)， ????,（1）求|m?n |的最大值； （2）若|m?n|=

??3??． 2??410，求sin2?的值． 5??(C(cos?,sin?)，3、已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、

（1）若AC?BC，求角?的值；

?3?,)，

222sin2??sin2?（2）若AC?BC??1，求的值。

1?tan?

三、 巩固练习

1、若A BCD为正方形，E是CD的中点，且AB?a,AD?b，则BE= （ ）

1111A. b?a B. b?a C. a?b D. a?b

22222、已知a?(1,2),b?(x,1),且(a?2b)//(2a?b)，则x的值为 （ ）

A. 1 B. 2 C.

????????????11 D. 32??3、△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(a?|a|??b|b|? )，t∈R，则点P在 （ ）

A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上

4、已知点C在线段AB的延长线上，且2BC?AB,BC??CA,则?等于

) A．3

B．

(

1 3

C．?3

D．?1 3

→→→→→1→5、设OM＝(1，)，ON＝(0，1)，则满足条件0≤OP·OM≤1，0≤OP·ON≤1的动点P

2的变动范围（图中阴影部分，含边界）是 （ ）

y y y

y

2 2 2 2 1 ?(?,1)，若a与1 a?(?2,?1)，bb的夹角为钝角，6、已知向量则?的取值范围是 （ ） 1 1 D A ???7、.已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A,B,C三点共线，则k=_________. 8、已知a?2,b?A.(?,2)2O 11 x O 1 x 1O 1 x 1O 1 x (2,??) B.(2,??) C.(?,??) D.(??,?)

B

C

222,a与b的夹角为45，若(?b?a)?a,则?= .

9、若对n个向量a1,a2,,an，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得

,an为“线性相关”.依次规定，请你求

k1a1?k2a2??knan=0成立，则称向量a1,a2,出一组实数k1，k2，k3的值，它能说明a1=(1,0), a2=(1,－1), a3=(2,2) “线性相关”：

k1，k2，k3的值分别是 ， ， .

10、已知a?(2,?5),|b|?|a|,且a与b互相垂直，则b的坐标是 .

11、设平面内的向量OA?(1,7),OB?(5,1),OM?(2,1),点P是直线OM上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP的坐标及?APB的余弦值。

12、设向量a?(1?cos?,sin?)，b?(1?cos?,sin?)，c?(1,0)，??(0,?)，

??(?,2?)，a与c的夹角为?1，b与c的夹角为?2，且?1??2?

?3，求sin???2的值。