配套创新设计·高考总复习限时训练 北师大理 含答案 第九篇 配套创新设计·高考总复习限时训练 北师大理 含

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|ON|＝1，|OM|＝2，则O到直线MN的距离为3.

?2?

当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx?显然|k|>?，

2??1

则直线OM的方程为y＝－kx. ?y＝kx，由?22

?4x＋y＝1

1

?x2＝

?4＋k2，得?k22??y＝4＋k2，

1＋k2

所以|ON|＝.

4＋k2

2

1＋k2

同理|OM|＝2. 2k－1

2

设O到直线MN的距离为d， 因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，

3k2＋31113

所以d2＝|OM|2＋|ON|2＝2＝3，即d＝3. k＋1综上，O到直线MN的距离是定值．

6．(13分)(2012·临沂二模)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|＝2|DM|，点P在圆上运动． (1)求点M的轨迹方程；

(2)过定点C(－1,0)的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在→·→为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．点N，使NANB 解 (1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝2y.

2∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x0＋y20＝4.

x2y2

∴x＋2y＝4，即4＋2＝1.

2

2

x2y2

点M的轨迹方程为4＋2＝1(x≠±2)． (2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)， y＝k?x＋1?，??

联立方程组?x2y2

＋＝1，??42

整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0， 2k2－44k2

∴x1＋x2＝－，xx＝. 1＋2k2121＋2k2→·→＝(x－n，y)·∴NANB11(x2－n，y2) ＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2 2k2－4－4k2

222

＝(1＋k)×2＋(k－n)×2＋k＋n 1＋2k1＋2k

2

k2?4n－1?－4＝＋n2 2

1＋2k

121?2k＋1??4n－1?－22?4n－1?－4＝＋n2 2

1＋2k1

＝2(2n2＋4n－1)－

72n＋21＋2k2

. →·→是与k无关的常数，∴2n＋7＝0. ∵NANB

27?7?→·→＝－15.

∴n＝－4，即N?－4，0?，此时NANB

16??

7→·→＝－15.

当直线AB与x轴垂直时，若n＝－4，则NANB

16?7?→·→为常数．

综上所述，在x轴上存在定点N?－4，0?，使NANB

??

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