配套创新设计·高考总复习限时训练 北师大理 含答案 第九篇 配套创新设计·高考总复习限时训练 北师大理 含

第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2013·潍坊一模)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|1

＝4，则弦AB的中点到直线x＋2＝0的距离等于 ( )． 7A.4

B．2

9

C.4

D．4

?1?解析 直线4kx－4y－k＝0，即y＝k?x－4?，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线

??1?1?

y＝x的焦点?4，0?.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋2＝4，故x1＋x2

??

2

7717

＝2，则弦AB的中点的横坐标是4，弦AB的中点到直线x＋2＝0的距离是4＋192＝4. 答案 C

2x2y2

2．(2012·台州质检)设斜率为2的直线l与椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为

( )．

3

A.3

1

B.2

2C.2

1D.3

解析 由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，b2

F2，故|AF1|＝|BF2|＝a，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为

22|AF1||BF2|22b2

2，结合图形易得tan θ＝2＝|CF1|＝|CF2|，故|CF1|＋|CF2|＝a＝|F1F2|2

＝2c，整理并化简得2b2＝2(a2－c2)＝ac，即2(1－e2)＝e，解得e＝2. 答案 C

3．(2012·吉安二模)抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于 ( )． A．7

B．35

C．6

D．5

解析 点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7. 答案 A

x2y24．(2013·宁波十校联考)设双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝ ( )． A．1＋22 C．5－22

B．4－22 D．3＋22

解析 如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝2m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝2m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋2m－2a＝m，得m＝22a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝c2

4c，即得(20－82)a＝4c，∴e＝a2＝5－22，

2

2

2

2

故应选C. 答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

x22?11?5．椭圆2＋y＝1的弦被点?2，2?平分，则这条弦所在的直线方程是________．

??解析 设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.

x2x21222

∵A，B在椭圆上，∴2＋y1＝1，2＋y2＝1.

?x1＋x2??x1－x2?两式相减得：＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

2y1－y2x1＋x2即＝－， x1－x22?y1＋y2?∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，

y1－y211∴＝－2，即直线AB的斜率为－2. x1－x211?1?∴直线AB的方程为y－2＝－2?x－2?，

??即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0. 答案 2x＋4y－3＝0

x2y2

6．(2013·东北三省联考)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)，F(2，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．

c＝2，

??b

解析 由题意，得?a＝1，

??a＝b＋c，

22

2

2

??a＝2，x2y2

解得?∴椭圆C的方程为4＋2＝1.

??b＝2，x2y2

答案 4＋2＝1

三、解答题(共25分)

7．(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．

→·→的值；

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OAOB

→·→＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点． (2)如果OAOB(1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，

消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

→·→＝xx＋yy＝(ty＋1)(ty＋1)＋yy ∴OAOB12121212

＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)证明 设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4b＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

→·→＝xx＋yy＝(ty＋b)(ty＋b)＋yy ∴OAOB12121212＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直线l过定点(2,0)．

→·→＝－4，则直线l必过一定点． ∴若OAOBy2

8．(13分)给出双曲线x－2＝1.

2

(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；

(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；

(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．