概率论在生活中的若干应用大学毕业论文

湖南科技大学本科生毕业论文（设计）

2.7 正态分布的应用

定义 若连续型随机变量X的概率密度为

f?x??12??e??x?u?22?2， ????x????

?,????0?为常数，则称X服从参数为 ?,?的正态分布，记为 X~N(?,?2)。 其中

习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态变量。 2.7.1 确定巴士门的高度

例14：巴士门的高度一般是按男子与车门顶碰头的几率在1%以下来设计的，设男子身高X(单位：cm)服从正态分布N(170，62),试确定车门的高度。 解：设车门的高度为h(cm)。依题意应有

P?X?h??1?P?X?h??0.01

即 P?X?h??0.99

X?170X~N170,62因为 ,所以 ,~N?0,1?从而

6?X?170h?170??h?170?P?X?h??P???????6??6?6?

????2.33??0.9901?0.99。 查标准正态分布表，得

h?170?2.33，即 cm方可保h?184?cm?，故车门的设计高度至少应为184 所以取 6证男子与车门碰头的概率在0.01以下。

2.8 中心极限定理的应用

定理5：中心极限定理是研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的问题。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础。

?n为n次试验中事 设n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p，记 件A出现的次数，且记

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Yn*?则对任意实数y，有

?n?npnpq

*limP(Yn?y)??(y)?n???12??y??edt?t22。

棣莫弗—拉普拉斯定理是概率论历史上第一个中心极限定理，他是专门针对二项分布的。相对于前面的“泊松定理”给出的“二项分布的泊松近似”，一般在p较小时，

np?5和 n(1?p)?5时，用正态分布近似较好。 用泊松分布近似较好；而在 2.8.1 误差分析

例15：一本书共有100万个印刷符号.排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求校对后错误不多于15个的概率.

分析：根据题意构造一个独立同分布的随机变量序列，具有有限的数学期望和方差，然后建立一个标准化的随机变量，应用中心极限定理求得结果. 解：设随机变量

?1,　第n个印刷符号校对后仍印错Xn???0,　　　　　　　　　　　其它.

则

Xn(n?1)np?P{Xn?1}?0.0001?0.1?10。 是独立同分布随机变量序列，有

?5作 Yn??XK,(n?106)， 为校对后错误总数。按中心极限定理，有

k?1??Y?np15?np??3?5?5P{Yn?15}?P?n????(5/[1010(1?10)])??(1.58)Ynnpq???npq? ?0.9495.

2.8.2商业评估问题

例16：某调查公司受委托，调查某电视节目在S市的收视率p，调查公司将所有调

p。现在要保证有90%的把握，使得调查所得查对象中收看此节目的平率作为p的估计

p与真实收视率p之间的差异不大于50%。问至少要调查多少对象。 收视率

解：设共调查n个对象，记

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?1,记i个调查对象收看此电视节目X??i?0,记i个调查对象不看此电视节目

P(Xi?1)?p,P(Xi?0)?1?p,i?1,2,.....,n。 则Xi独立同分布，且 又记n个被调查对象中，收看此电视节目的人数为Yn，则有

Yn??Xi～b(n,p).i?1n

Yn由大数定理知，当n很大时，频率 与概率p很接近，即用频率作为p的估计是合适

n的。根据题意有

?1n?nP??Xi?p?0.05??2?(0.05)?1?0.9np(1?p)?i?1? nn?(0.05)?0.95，查正态分布表得 0.05?1.645所以 p(1?p)p(1?p)从中解得

1.6452n?p(1?p)?p(1?p)?1082.4120.05

p(1?p)?0.25，所以 ,n?270.6即至少调查271个对象。 又因为

2.8.3电影院的座位问题（独立同分布下的中心极限定理）

林德贝格—勒维中心极限定理：设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且E（Xi）=μ，Var(Xi)=σ2>0.记

Yn*?则对任意实数y，有

X1?X2?.....?Xn?n??n

1*P(Y?y)??(y)?limn2?n????y??edt?t22

n?1600人，预计扩建后，平均 例17：设某地扩建电影院，据分析平均每场观众数

3/4的观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200或更多的概率不能超过0.1，问应该设多少座位？ 解：把每日看电影的人编号为1,2，...，1600，且令

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?1,第i个观众还去电影院Xi???0, 不然 i?1,2,?,1600

?Xi?1??34,P?Xi?0??14.又假定各观众去电影院是独立选择，则X1、 则由题意P X2、... 是独立随机变量，现设座位数为m，则按要求

P?X1?X2???X1600?m?200??0.1

在这个条件下取m最大。

当上式取等号时，m取最大，因为 np?1600?34?1200,np?1?p??103，由定理知，m应满足

?m?200?1200???????0.1103??

查正态分布表即可确定 m?1377，所以，应该设1377个座位。

2.9 马尔科夫链的应用

马尔科夫链是一种特殊的概率模式，它在经济学和社会学中有广泛的应用。在市场竞争中，可用马尔科夫链来确定企业产品短期和长期的市场占有率；而且可以 通过市场占有率的估计，来评估集中广告策划之间的有略；又如会计部门，可用马尔科夫链确定可以账目的允许差额；营销部门，可用马尔科夫链预测顾客是坚持用某种品牌的商品，还是转向其他品牌的商品的行为，马尔科夫链成为市场研究的重要工具。

定义：马尔科夫链是建立在“系统的状态”和“状态转移”等基本概念的基础之上，系统的状态，可用状态概率向量表示。所谓概率向量是指各个元素不是负数，并且其和

npi?0,i?1,2,...,n且 等于1的任意行向量。即A=(p1 p2 ... pn),其中 ,?pi?1。

i?12.9.1 预测市场占有率问题

例18：某地区某年第一季度甲、乙、丙三种品牌洗发精的市场占有率分别是40%、25%和35%。三月底进行抽样调查，原来使用甲牌洗发精的100人中，有90人仍坚持用，分别有4人和6人转向使用乙、丙品牌的洗发精；原来使用乙牌洗发精的100人中，有80人仍坚持用，分别有15人和5人转向使用甲、丙品牌的洗发精；原来使用丙品牌洗发精的100人中，有70人仍坚持用，分别有20人和10人转向使用甲、乙品牌的洗发

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