概率论在生活中的若干应用大学毕业论文

湖南科技大学本科生毕业论文（设计）

注最高限额封顶500万元；另一部分为当期高等奖奖金的20%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元。 二等奖 ○○○○○○ 三等奖 ○○○○○ 四等奖 ○○○○○ 五等奖 ○○○○ ○○○○ 六等奖 ○○○

分析：中奖概率以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率。

中一等奖(无顺序、无重复数、红球由6个数组成，蓝球只有一个数)共有m1种可

61m能存在的排序方式： 33C16?127591833601?C6m 中二等奖共有m2种排序方式： 2?C33?79744896051 中三等奖共有m3种排序方式：m 3?C33C16?4556851205 中二等奖共有m4种排序方式：m 4?C33?2848032041 中二等奖共有m5种排序方式：m 5?C33C16?15713280431m 中二等奖共有m6种排序方式： 6?C33?C33C16?1505856 ● ● ● 当期高等奖奖金的30% 单注固定奖金额2000元 单注固定奖金额300元 单注固定奖金额100元 单注固定奖金额10元 解：通过计算我们可得：

一等奖中奖概率P1=1/m1=0.784×10-10； 二等奖中奖概率P2=1/m2=0.125×10-8； 三等奖中奖概率P3=1/m3=0.219×10-8; 四等奖中奖概率P4=1/m4=0.351×10-7; 五等奖中奖概率P5=1/m5=0.636×10-7; 六等奖中奖概率P6=1/m6=0.664×10-6;

所以综合中奖率P=P1+P2+P3+P4+P5+P6=0.766×10-6。

通过对本例的研究，我们可以了解到：每 1000000注彩票，约有 7.7注彩票(包括高等奖到低等奖)中奖，另外有注的彩票全部都未能得到回报。由此可见，通过博彩来赚钱绝对是不合算的，从纯数学的角度来讲，当概率低于1/1000时我们就可以忽略不

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计。在实际生活上，也只有极少数人中奖，购买者应保持平常心，决不能将它当做一种纯粹的投资，也不能把它视为纯粹的赌博。只能将其作为一种娱乐，甚至也可以将此视为公益事业。作贡献 、献爱心，达到“济困、助残、扶老、救孤”的目的，从而在购买彩票的活动中使我们更具有理性。

2.2 独立事件的概率分析

定义 如果已知事件A的发生不会影响事件B发生的可能性，那么事件A和B就是独立的，事件A和B都称为独立事件。 2.2.1最优经济效益问题

在相互独立的条件下，做经济效益的抉择时也可以用概率论的只是来解决，在省钱的前提下，达到最大的经济效益，下面就做例述。

例2：某公司为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可以采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后不发生此突发事件的概率(记为P)，所需费用情况如下表所示： 预防措施 P 费用(万元) 甲 0.9 90 乙 0.8 70 丙 0.7 30 丁 0.6 10 这家公司的预防方案可以单独采用一种预防措施或者联合采用多种预防措施。但必须保证总费用不超过120万元。请问：我们应该采取怎样的策略达到防止突发事故所需费用和概率达到最优？

分析：每种预防措施都是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性质及加法公式进行计算。

方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元。通过上表可知，当采用甲措施时，可使不发生此突发事件的概率达到最大，其概率为P1=0.9。

方案2：采用联合两种预防措施,并使得费用不超过120万元。由上表可知，联合甲和丙两种措施时，得到不发生突发事件的概率的概率为:

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P2?1?P(甲)P(丙)=1?(1?P(甲))(1?P(丙)) =1?（1-0.9）(1-0.7)=0.97

方案3：采用联合三种预防措施，并使得费用不超过120万元。由上表可知，联合乙、丙、丁三种预防措施，得到不发生突发事件的概率为：

P3?1?P(乙)P(丙)P(丁)=1?(1?P(乙))(1?P(丙))(1?P(丁)) =1?(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=0.976

通过上述三种预防方案可知，该公司在总费用不超过120万元的大前提下，联合乙、丙、丁三种预防措施时，可以将突发事件控制在最低发生水平，概率为0.976。

2.3 条件概率分析

在谈及随机试验及其中各个事件的概率的时候，总是在一组确定的条件下讨论。附加一些条件。通常以某个事件已经发生的形式给出，这就是已知某事件已发生后的条件概率。

2.3.1讨论抽签先后是否公平（全概率公式的应用）

全概率公式：设B1，B2，...,Bn为样本空间Ω的一个分割，即B1，B2，...,Bn互不相容，且 P(Bi)?0,i?1,2,...,n,则对任意事件A有 ?Bi??，如果

i?1nP(A)??P(Bi)P(A|Bi)i?1n。

生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。我们就来研究一下，从概率的方面来说明抽签次序是否影响抽签结果？

例3：在一次判定物品归属的决策时，众人决定通过抽签决定。设共有n张纸签，其中有一张做了彩色标记，抽到就可以得到判定物。问第二个人就抽到彩签的概率是多少。

解：设Ai表示事件“第i人抽到彩签”，i=1,2,...,n。现在目的是求P（Ai）。因为A1是否发生直接关系到A2发生的概率，即

P(A2|A1)?0,P(A2|A1)?1,n?1

A2是两个概率大于0的事件： 而A1与

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1n?1P(A1)?,P(A1)?nn

于是由全概率公式得：

1n?111P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)??0???nnn?1n

同理可得

P(A3)?P(A4)?...?P(An)?1n

这说明，在抽签过程中，无论先抽还是后抽，抽中的机会是相同的。 2.3.2追究责任问题 （叶贝斯公式的应用）

(A1A2....An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An?1)） 定理1：通过乘法规则（P 和全概率公式，我们可以推倒出著名的叶贝斯公式：

nB1,B2,...,Bn是样本空间?的一个分割，即 B1,B2,...,Bn互不相容，且 设 ?Bi??，

i?1P(A)?0P(Bi)?0,i?1,2,...,n,则： 如果

P(Bi|A)?P(Bi)P(A|Bi)n,i?1,2,...,nj?P(B)P(A|B)ij?1

例4：某工厂有4个车间同时生产一种产品，其产量分别占总产量的15%、20%、30%和35%，各个车间的次品率分别为5%，4%，3%，2%，有一用户买了该厂的一件产品，发现是次品。当厂长追究车间生产责任时，发现该产品的生产车间标志已脱落。问厂长应当如何追究各个车间的生产责任？

分析：由于不知该产品哪个车间生产的，因此每个车间都要负责任。各车间所负责任的大小应该正比该产品是各个车间生产的概率。 解：设Aj=“该产品是j车间生产的”，j=1，2，3，4; B=“从该厂的产品中任取1件恰好取到次品”．

P(Aj|B),j?1,2,3,4则第j个车间所负责任的大小（比例）为条件概率 ; 由贝叶斯公式，得：

P(Aj|B)?P(BAj)P(B)?P(Aj)P(B|Aj),j?1,2,3,4?P(A)P(B|A)iii?1n

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