2015年全国高中数学联赛模拟试题15 - 图文

2015年全国高中数学联赛模拟试题15

第一试

（时间：8:00-9:20 满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

xx21．已知函数f?x??aa?a?3???a?0且a?1?在区间?0,1?上是减函数，则实数a的取值范围是 2．在四棱锥P?ABCD中，已知四边形ABCD是矩形，且AB?4,BC?3,PA?PB?PC?PD?5,AC与BD交于点O，M为边PC的中点，则OM与平面PBC所成角为

3．将M??1,2,?,9?中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和S等于 4．已知曲线C上任意一点到点A?0,1?与直线x?4的距离之和等于5，对于给定的点B?b,0?，在曲线上恰有三对不同的点关于点B对称，则b的取值范围是

5．设方程x?3x?1?0的三个实根是x1,x2,x3?x1?x2?x3?．则?x3?x2??x3?x2???x3?x1??

36．已知正实数x,y,z满足xyz?xy?yz?zx?x?y?z?3，则u?xyz?x?y?z?的最大值为

107．设方程x??13x?1??0的个复根分别为x1,x2,?,x10，则

10111????? x1x1x2x2x10x108．将编号为1,2,?,9的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编号之差的绝对值之和为T，则T取得最小值的放法的概率是

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

ak3n2?5n*?n?N9.（本小题满分16分）. 已知数列?an?满足a1?2，?． ??24?n?3n?2?k?1k?k?1??k?2?n证明：log

1?an32??1n36 ?3nk?1aknx2y210.（本小题满分20分）设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1且倾斜角为?ab????3????3808Cl的直线与椭圆交于点A,B．若cos??,3F1A?5BF1，且S△ABF2?

545⑴ 求椭圆C的方程；

M的轨迹方程. ⑵ 若P,Q是椭圆C的有准线上的两个动点，且PQ?10，求△F1PQ的内切圆圆心

11.（本小题满分20分）设xi?R,?i?1,2,?,n,n?2?,m?N,m?2且

??xi?1ni?T，其中k,a,m,T为给定

的正实数，求W?

?i?1nmkxi?a的值域

2015年全国高中数学联赛模拟试题15

加试

（时间：9:40-12:10 满分：180）

一、（本小题满分40分）

IE?AB在Rt△ABC中，已知CD为斜边AB上的高，I,I1,I2分别为△ABC,△ADC,△BDC的内心，于点E，直线AI与BC，BI与AC，MN与CD分别交于点N,M,Q．

求证：(1)QE?I1I2且QE?I1I2； (2) QE//CI且QE?CI．

二、（本小题满分40分）

nxi??xi的最大值和最小值（规定xn?1?x1）. 设xi??4,10??i?1,2,?,n?．试求S??x?xi?1ii?1i?1n

三、（本小题满分50分）

11个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）．已知任意九个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生．求学生总人数的最小值．

四、（本小题满分50分）

对任意一个正整数M，设其十进制表达为a1a2?ak.

证明：存在n?N，使得3的十进制表达的前k位是a1a2?ak

*n2015年全国高中数学联赛模拟试题15

第一试参考解答

（时间：8:00-9:20 满分：120）

xx21．已知函数f?x??aa?a?3???a?0且a?1?在区间?0,1?上是减函数，则实数a的取值范围是

2．在四棱锥P?ABCD中，已知四边形ABCD是矩形，且AB?4,BC?3,PA?PB?PC?PD?5,AC与BD交于点O，M为边PC的中点，则OM与平面PBC所成角为

3．将M??1,2,?,9?中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和S等于

4．已知曲线C上任意一点到点A?0,1?与直线x?4的距离

之和等于5，对于给定的点B?b,0?，在曲线上恰有三对不同的点关于点B对称，则b的取值范围是

5．设方程x?3x?1?0的三个实根是x1,x2,x3?x1?x2?x3?．则?x3?x2??x3?x2???x3?x1?? 0 3

6．已知正实数x,y,z满足xyz?xy?yz?zx?x?y?z?3，则u?xyz?x?y?z?的最大值为

107．设方程x??13x?1??0的个复根分别为x1,x2,?,x10，则

10111????? 1700 x1x1x2x2x10x10

8．将编号为1,2,?,9的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编号之差的绝对值之和为T，则T取得最小值的放法的概率是