辽宁省大石桥市第二高级中学高三数学上学期期末考试试题 理

（II）?的所有可能取值为：

0,1,2,3 …………6分

22P(??0)?C4C6C2?2

5C10?6151510?45?75， 1P(??1)?C4C26C2?C2

5101?C24C?C14C64156241024342C2??45?10?45?75?75?75， 5101011122P(??2)?C4C4C6C4C44246622C2?2?2?2??45?10?45?， 5C10C5C101075P(??3)?C1C244464C2?C2???， ………………8分

510104575所以?的分布列是：

所以?得数学期望E??0?1575?1?3475?2?224675?3?75?5. ………12分 20．解：（I）设D(x,y),A(x31,3xB(x31),2,?3x2) ∵D是线段AB的中点， ∴x?x1?x23x1?x2,y?3?22， …………………2分 ∵AB?23，∴(x221?x2)?(33x31?3x2)?12， ∴(23y)2?(233x)2?12，化简得点D的轨迹 9

的方程为x2C9?y2?1； …………………5分

（II）设l:y?k(x?1),(k?0)，代入椭圆x29?y2?1，得 (1?9k2)x2?18k2x?9k2?9?0，∴x18k2?2k1?x2?1?9k2,y1?y2?1?9k2， 9k2∴PQ中点H的坐标为(1?9k2,?k1?9k2)， …………………8分 ∵以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形，

?k∴kMH?k??1，∴1?9k29k2?k??1， 1?9k2?m即m?8k281?9k2，∵k?0，∴0?m?9， …………………10分 又点M(m,0)在线段ON上，∴0?m?1，

综上，0?m?89. …………………12分 21．解：（I）由已知 f?(x)?1x?2,(x?0)，

f?(1)?3 所以斜率k?3，

又切点为(1,2)，所以切线方程为y?2?3(x?1)，

即3x?y?1?0； ………………2分 （II）f?(x)?1x?a?1?axx,(x?0) ①当a?0时，由于x?0故1?ax?0，f?(x)?0

所以f(x)的单调递增区间为(0,??)， ……………………4分 ②当a?0时，f?(x)?0，得x?1a 在区间(0,1a)上，f?(x)?0

10

在区间(,??)上，f?(x)?0 所以f(x)的单调递增区间为(0,)，

单调递减区间为(,??)； ……………………8分 （III）由已知，转化为f(x)max?g(x)max， g(x)?(x?1)?1,x?[0,1] 所以g(x)max?2

由（II）知，当a?0时，f(x)在(0,??)单调递增，值域为R， 不符合题意；

当a?0时，f(x)在(0,)单调递增，f(x)在(,??)单调递减， 所以f(x)的极大值即为最大值，f()?ln()?1??lna?1， 所以?lna?1?2 解得a?e?321a1a1a1a1a1a1a ………………………12分

22．(Ⅰ)证明:QPE切⊙O于点E,

∴?A??BEP QPC平分?BPE

∴?A??CPA??BEP??DPE，

Q?ECD??A??CPA,?EDC??BEP??EPD， ∴?ECD??EDC，?ECD为等腰三角形， ∴CE?DE； ………………5分

(Ⅱ)证明:Q?PDB??EDC??ECD，在?PBD,?PEC中，?PDB??PCE， ?BPD??CPE， ∴?PBD∽?PEC,

PEPC∴， ?PBPDPCCAPECACA同理?PDE∽?PCA,∴，∴ ???PDDEPBDECECAPE故得 ． ………………10分 ?CEPB23．解：（I）消去参数得直线l:y?x?4，

极坐标方程两边同乘以?，由公式化的曲线C:y?4x； …………5分

2?y2?4x2（II）设A(x1,y1),B(x2,y2),由?消去y得x?12x?16?0，

?y?x?4 ∴x1?x2?12,x1x2?16， …………………７分

∴y1y2?(x1?4)(x2?4)?x1x2?4(x1?x2)?16，

uuuruuur ∴OAgOB?x1x2?y1y2?x1x2?x1x2?4(x1?x2)?16

11

?16?16?4?12?16?0． …………………10分

??2x?2,x??3．（I）f(x)?f(x?4)?|x?1|?|x?3|???4,?3?x?1

??2x?2,x?1当x??3时，由?2x?2?8，解得x??5； 当?3?x?1时，f(x)?f(x?4)?4?8不成立； 当x?1时，由2x?2?8，解得x?3.

所以不等式f(x)?f(x?4)?8的解集为?x|x??5或x?3?； ……… 5分（II）f(ab)?|a|f(ba)即|ab?1|?|a?b|，

Q|a|?1,|b|?1，∴|ab?1|2?|a?b|2?(a2b2?2ab?1)?(a2?2ab?b2) ?(a2?1)(b2?1)?0，∴|ab?1|2?|a?b|2 可得|ab?1|?|a?b|

故所证不等式成立． …………………10分

12

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