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2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义

p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)． 则下列命题中的真命题为( ) A．p1∨p2 C．p1∨綈p3

B．p2∧p3 D．綈p2∧p3

π5π

【解析】 (1)取x＝3，y＝6，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．

?1??1?1

(2)对于p1：令y＝f(x)，当a＝2时，f(0)＝?2?0＋0＝1，f(－1)＝?2?

??

2

??

－1

1?232?

－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a－ab＋b＝?a－2b?＋4b≥0，

??

2

所以p2为假命题；对于p3：由cosα＝cosβ，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以綈p2∧p3为真命题．

【答案】 (1)B (2)D

含逻辑联结词命题真假的等价关系

(1)p∨q真?p，q至少一个真?(綈p)∧(綈q)假． (2)p∨q假?p，q均假?(綈p)∧(綈q)真． (3)p∧q真?p，q均真?(綈p)∨(綈q)假． (4)p∧q假?p，q至少一个假?(綈p)∨(綈q)真． (5)綈p真?p假；綈p假?p真．

2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义

(2019·陕西质量检测)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( D )

A．p∧q B．綈p∧綈q C．綈p∧q D．p∧綈q 解析：由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q是假命题．由复合命题真值表可知p∧綈q是真命题，故选D. 考向二 全称命题与特称命题

【例2】 (1)若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0，则綈p为( )

2

A．不存在x0∈R，使得x30－x0＋1<0 32B．存在x0∈R，使得x0－x0＋1<0

C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0

2D．存在x0∈R，使得x30－x0＋1≥0

(2)下列命题中为假命题的是( ) A．?α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ

B．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

32C．?x0∈R，x0＋ax0＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)

D．?a>0，函数f(x)＝(lnx)2＋lnx－a有零点

【解析】 (1)命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0的否定

2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义

32为綈p：存在x0∈R，使得x0－x0＋1≥0.故选D.

π

(2)当α＝0，β＝2时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，A为真命题；当φπ??π

＝2时，函数f(x)＝sin?2x＋2?＝cos2x是偶函数，B为假命题；对于三

??次函数y＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，

3

y→＋∞，又该函数的图象在R上连续不断，故?x0∈R，x0＋ax20＋

bx0＋c＝0，C为真命题；当f(x)＝0时，(lnx)2＋lnx－a＝0，则有a＝1?1?1

(lnx)2＋lnx＝?lnx＋2?2－4≥－4，所以?a>0，函数f(x)＝(lnx)2＋lnx－

?

?

a有零点，D为真命题．综上可知选B.

【答案】 (1)D (2)B

全称命题与特称命题的真假判断及其否定

已知f(x)＝ex－x，g(x)＝lnx＋x＋1，命题p：?x∈R，f(x)>0，命题q：?x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0，则下列说法正确的是( C )

2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义

A．p是真命题，綈p：?x0∈R，f(x0)<0 B．p是假命题，綈p：?x0∈R，f(x0)≤0 C．q是真命题，綈q：?x∈(0，＋∞)，g(x)≠0 D．q是假命题，綈q：?x∈(0，＋∞)，g(x)≠0

解析：f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，故当x＝0时，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值，f(0)＝e0－0＝1－0＝1>0，∴?x∈R，f(x)>0成立，即p是真命题．g(x)＝lnx＋x＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x→0时，g(x)<0，g(1)＝0＋1＋1＝2>0，则?x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0成立，即命题q是真命题．綈p：?x0∈R，f(x0)≤0，綈q：?x∈(0，＋∞)，g(x)≠0.综上，只有选项C正确．

考向三 根据命题的真假求参数的取值范围

2

【例3】 已知p：存在x0∈R，mx0＋1≤0，q：任意x∈R，x2

＋mx＋1>0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

【解】 依题意知p，q均为假命题，

当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0； 当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2

??m≥0，因此由p，q均为假命题得?即m≥2.

??m≤－2或m≥2，

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

1．本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为(－2,0)．