七年级数学上册 第1章 走进数学世界 1.1 数学伴我们成长特色训练 华东师大版

七年级数学上册 第1章 走进数学世界 1.1 数学伴我们成长特色训

练 华东师大版

专题一 平方根 一、概念

本专题有二个重要概念，即：平方根、算术平方根，这二个概念既有相同点，又有本质区别，很容易混淆，为了更好地区分它们，列表比较如下： 概念 平方根 算术平方根 如果一个数x的平方等于a，那么这一个正数a的正的平方根叫做a的22个数x叫做a的平方根，即：若x=a，算术平方根；即：若x=a（x≥0），则x叫做a的平方根 则x叫做a的算术平方根 ±a a≥0 正数的平方根有二个，它们是互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2（±a）=a （a≥0） 表示方法 a的取值范围 性质 a a≥0 一个正数有一个算术平方根；0的算术平方根等于0； 负数没有算术平方根 2（a）=a （a≥0） 重要结论 a2=a (a为全体实数) 平方根与算术平方根的联系 a2=a (a为全体实数) ①平方根包含算术平方根；算术平方根是平方根中的一个。 ②平方根和算术平方根都是只有非负数才有。 ③求平方根和算术平方根都是开平方运算，且都是开平方运算的逆运算 ④0的平方根是0，0的算术平方根也是0 注意：在本专题中要正确理解 ±a、a、-a的意义

①±a（a≥0）表示非负数a的平方根，正数a的平方根有二个，它们是互为相反数. ②a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，即a≥0（a≥0） ③-a（a≥0）表示的是非负数a的负的平方根，或非负数a的算术平方根的相反数。 ④±a、a、-a当a＜0时，它们都没有意义。

二、运算

学习平方根，要过好运算关，即：“开平方运算”

①开平方，求一个非负数a的平方根的运算叫开平方，开平方是一种新的运算，与我们以前学习的加、减、乘、除、乘方一样是一种运算，平方根是开平方的结果 ②开平方与平方互为逆运算。 ③开平方与其它运算不一样，其它运算的结果是唯一的，而开平方的结果可能有二个、一个、不存在。

三、注意算术平方根两个非负性的应用

用心 爱心 专心

1

任何一个非负数的算术平方根都是非负数，即a≥0（a≥0）

①对于二次根式a，隐含着一个重要条件：被开方数是一个非负数，即a≥0 ②当a为非负数时，a的最小值为0，即a≥0

四、典型例题剖析

例1、4的算术平方根是（ ） A、2 B、-2 C、±2 D、16

剖析：本题考查算术平方根的概念，根据算术平方根的定义可以直接得到：4的算术平方根是2，选A

例2、81的平方根是

剖析本题考查了二个知识，其一：81的意义，它表示的是81的算术平方根，即9；其二：9的平方根，即±3，所以本题答案为±3。

评注：本题很容易错填±9，其原因是对81的意义不明确，本题有二步计算，一是81=9；二是9的平方根是±3

例3、若2m-4与3m-1是同一个数的两个不同的平方根，则m的值是（ ） A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1

剖析：根据平方根的性质：正数的平方根有两个，并且这两个平方根互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0。所以有2m-4+3m-1=0，得出m=1，本题选B

2

例4、解方程16x-25=0

2

剖析：要求满足方程未知数x的值，可以象解一元一次方程那样，把方程变形，先求出x的值。再开方求出x的值。

2

解：由16x-25=0 所以x=

2

25 16255=± 164 所以x=±

例5、一块板长3米，宽2米，它的对角线长为13米，不用计算器试估计它的对角线长是多少？（?结果精确到0.01）．

剖析：本题是一道估算题，它考查的是平方与开平方的互逆运算关系，借助平方，容易得到， 解：设对角线的长为x，由已知得

2

x=13，9<13<16，

22

因为3=9，4=16， 所以3

22

又因为3.6=12.96，3.7=13.69． 所以3.6

2

又因 3.605=12.996025，

2

3.606=13.003236，

用心 爱心 专心

2

所以 3.605

精确到百分位，可得对角线的长约为36.1米．

例6、物体从某一高度自由落下，物体下落的高度s与下落的时间t?之间的关系可用公式s=

122

gt表示，其中g=10米/秒，若物体下落的高度是180米，?那么下落的时间是多少2秒？

剖析：本题是一道贴近生活的实际问题，只须代入数值计算即可， 解：因为s=

2

1212

gt，所以当s=180米时，得180=·10t， 22所以t=36，所以t=±6．?因为时间不能为负，

所以t=6，即物体下落的时间为6秒．

专题练习一

1、16的平方根是（ ）

A、4 B、-4 C、±4 D、±8 2、9的算术平方根（ ）

A、3 B、±3 C、3 D、±3 3．下列各式成立的是（ ）

A． 9?±3 B．(?9)2=81 C．(?3)2=-3 D． (?3)2=3 4、一个数a有两个不同的平方根为2m+1，m-7，则这个数a是 5、解方程．

12

（x-1）=32 22

2

6、将一块面积为30m的正方形铁皮的四个角各剪去一个面积为2m的小正方形，剩下的部分刚好能作一个无盖的长方体运输箱，求此运输箱底面的边长（可借助于计算器，结果精确到0.01m）

专题二、立方根 一、概念

立方根与平方根类似，为了更好的学习，列表比较之 概念 立方根 如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方3根，即：若x=a，则x叫做a的立方根 3平方根 如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方2根，即：若x=a，则x叫做a的平方根 ±a a≥0 正数的平方根有二个，它们是互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 表示方法 a的取值范围 性质 a a为全体实数 正数的立方根有一个，是正的；负数的立方根有一个，是负的；0的立方根是0； 用心 爱心 专心

3

重要结论 3a3?a （a全体实数） a2=a （a全体实数） ?a?332?a （a全体实数） （±a）=a （a≥0） 二、运算 ① 开立方，求一个数a的立方根的运算叫开立方，开立方和开平方统称为开方， 加、减；乘、除；乘方、开方称为实数运算中的三级运算 ②开立方与立方互为逆运算。

③开立方的结果是唯一的，任何一个实数都有唯一的一个立方根 三、典型例题剖析

1的立方根是（ ） 8111A． B．- C．± D．不存在

2221剖析：根据立方根的概念直接得到为 -，选B

2例1、 -例2、下列说法中正确的是（ ） ①3的立方根是27； ②

11的立方根是；③64的立方根是±4； ④0的立方根是0． 273A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

剖析：本题考查的是立方根的概念，对照概念可知，只有②④是正确的，所以选D 例3、下列说法中错误的是（ ）

A．负数没有立方根 B．1的立方根是1

C．38的平方根是±2 D．立方根等于它本身的数有3个

剖析：本题考查的是立方根与平方根性质的区别，要认真区分，否则很容易出错，显然A是错误的，因为任何实数都有立方根，所以选A

例4、已知x两个不同的平方根是2a+3和1-3a，y的立方根为a，求x+y的值．

剖析：根据平方根的性质有，2a+3+1-3a=0，所以a=4，x的平方根就是：2a+3=11，1-3a=-11

3

于是x=121；根据立方根的性质，y=a=64，所以，x+y=185

23b

例5、已知a=4，b=27，求a的值 剖析：本题包含了分类讨论思想。

23

解：由a=4得，a=±2；由b=27得b=3

b3

所以，当a=2，b=3时，a=2=27

b3

当a= -2，b=3进，a=（-2）= -27

例6、将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式为V=

4?R3） 3剖析：本题是一个帖近生活的实际问题，根据熔化前后，总体积相等，列方程求解 解：设小铁球的半径为x。根据题意得：

4433

×?×12=8××?×x33解得，x=216

所以，每个小球的半径为x=6cm

用心 爱心 专心

4

3

专项练习二

1、-8的立方根是（ ）

A、不存在 B、2 C、-2 D、±2 2．下列说法中正确的是（ ）

A．1的立方根是±1 B．负数没有立方根 C．2的立方根是2 D．任何实数都有一个立方根 3、一个数的立方根等于它本身，这个数是

4、用计算器计算：41≈_______．32007≈_______（保留4个有效数字）

5、8（x+1）-27=0．

6、王老师有棱长为40.25cm的两个正方体纸箱装满了书，他现在把这些书都放入一个新制的木箱中，结果正好放下，那么这个木箱的棱长大约是多少？（结果精确到00.01cm）

专项练习参考答案 专项练习一、 1、 C； 2、 A； 3、 D； 4、 25；

5、 x=9或x=7 6、 2.65m

专项练习二 1、C 2、D

3、1或-1或0 4、6.403 12.61 5、

3

1 26、50.71cm

用心 爱心 专心

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