第3讲 勾股定理逆定理

第3讲 勾股定理逆定理

基础回顾

一、运用逆定理证垂直

1、如图，点P为正方形ABCD内一点，PA=3，PD=2，PC=1，求∠CPD.

2、等边△ABC，PA=5，PB=4，PC=3，求∠BPC.

3、三角形三边为a，b，c，判断△ABC的形状

DPCAABBPC，b?2n，c?n2?1 （1）a?n2?1（2）a2?b2?c2?200?12a?16b?20c

4、如图，BE⊥AD，∠A=∠EBC=60°，AB=4，BC?23，CD?3，DE=3 DCEB求证：AD⊥CD A

B5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为角平分线的交点.

（1）求∠APB；

P（2）若AC=8，BC=6，求PA的成长.

C A

6、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，BE∥AC，且AC=4BE，AD为中线. （1）求证：AD⊥DE

（2）求证：AD平分∠CAE A E

CB D

方法运用

一、利用勾股定理构造直角三角形 7、如图，A（4,0）、B（0,4）两点，P在BA延长线上，△OPE为等腰直角三角形，F为PE中点，OF交AB于M. y（1）若P（5，-1），求E点坐标； E（2）挡点P在AB上运动，问PA、PM、BM三者之间存在怎样的关系并证明。 B GMF

AO P

F8、如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，AE∥BC，AF=AC，AM平分∠EAF.

（1）求证：∠AMC=45° （2）求证：AM⊥MB M（3）探究AM、BM、CM三者之间关系，并证明. AE

B9、如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，PA⊥PB，连接PC. C（1）如图1，求证：PA+PB=2PC （2）如图2，求证：PA?PB?xCCPB图22PC

BA

A 图1P

10、如图，四边形ABCD中，CA=CB，∠ACB=120°，∠APB=60°，连PC. 求证：PA?PB?CB3PC

A

二、利用特殊直角三角形寻求线段的比

11、如图，正方形ABCD中，F为CD的中点，E在BC上，∠EAF=45°，求

CE BEPADFBEC12、如图，△ACB为等腰直角三角形，AC=BC，点D在AB上，CD=DE. （1）若∠CDE=45°，求

BE的值 CEDM的值 BCADADM（2）过E点作EM⊥AB交BC于M点，求

BC EBCE

13、如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AF为△ABC的角平分线，分别过点C、B作AF的垂线，垂足分别为E、D.

2（1）求证：CE?DE?BD

2（2）求证：AF=2BD

CEAFDBDF（3）求证：?AF2?12

问题探究

利用45°、60°构造特殊直角三角形，求线段比

14、如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°,CE⊥BD于E，连AE，下列结论：

B（1）求证：ED=DA

（2）求证：∠CBA=60° （3）求证：

S?BCE?23S?ADE

E ACD

15、如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°,以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交CD于E，连ME.

B（1）求∠BEC的度数； D（2）试探究：线段MD+MA与ME之间的数量关系，并加以证明；

M（3）若BD=6，则线段EC的长为

CA