2020年中考数学一轮复习培优训练：《四边形》及答案

，

∴△BMH≌△EMF（AAS）， ∴MH＝MF，BH＝EF＝AF ∵四边形AGEF是正方形， ∴∠FAG＝90°，EF∥AG， ∵BH∥EF， ∴BH∥AG，

∴∠BAG+∠ABH＝180°，

∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°． ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴∠CBH+∠CAG＝90°， ∵∠CAG+∠CAF＝90°， ∴∠CBH＝∠CAF， 在△BCH和△ACF中，

，

∴△BCH≌△ACF（SAS）， ∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，

∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，∴△FCH是等腰直角三角形， ∵MH＝MF，

∴CM＝FM，CM⊥FM； 2．解：（1）如图1中，

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∵MN∥B′D′，

∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°，∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°，∴∠C′MN＝∠C′NM， ∴C′M＝C′N， ∵C′B′＝C′D′，' ∴MB′＝ND′，

∵AB′＝AD′，∠AB′M＝∠AD′N＝90°， ∴△AB′M≌△AD′N（SAS）， ∴∠B′AM＝∠D′AN，

∵∠B′AD′＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAB′＝22.5°， ∴α＝22.5°．

（2）①如图2中，

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∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°，AQ＝AQ，AB′＝AD， ∴Rt△AQB′≌Rt△AQD（HL）， ∴∠QAB′＝∠QAD，

∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°， ∴∠B′AD＝30°，

∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．

②如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AE＝EP，连接EP．设PB＝a．∵∠ABP＝∠AB′P＝90°，AP＝AP，AB＝AB′， ∴Rt△APB≌Rt△APB′（HL）， ∴∠BAP＝∠PAB′＝15°， ∵EA＝EP，

∴∠EAP＝∠EPA＝15°， ∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°， ∴PE＝AE＝2a，BE＝a，

∵AB＝6， ∴2a+

a＝6，

∴a＝6（2﹣）． ∴PB＝6（2﹣

），

∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6（2﹣

）＝6

﹣6，

∵∠CPQ+∠BPB′＝180°，∠BAB′+∠BPB′＝180°， ∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°， ∴PQ＝

＝

＝12﹣2

．

3．（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，AB∥CD，

∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°

由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，

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∴∠BCD＝∠DCQ， ∴∠BCP＝∠DCQ， 在△BCP和△DCQ中，，

∴△BCP≌△DCQ（SAS）；

（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ， ∴BP＝DQ，

∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．

在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示： 则∠QEN＝∠QNE，

∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB， 在△PBM和△QDE中，， ∴△PBM≌△QDE （AAS）， ∴PM＝QE＝QN． ②解：由①知PM＝QN， ∴MN＝PQ＝

PC，

∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小， 则PC＝2，BC＝2PC＝4， ∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2××42＝8

；故答案为：8

．

4．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠AHC＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形AHCD是矩形，

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