2020年高考数学一轮复习专题5.1平面向量的概念及线性运算练习(含解析)

11→→→1→1→1→1→→1→1→→→

（2）MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC＝xAB＋yAC，∴x＝，y＝－. 32322626→→

（3）设CO＝yBC，

→→→→→→→→→→∵AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC. →→?1?∵BC＝3CD，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈?0，?，

?3?→→→?1?∵AO＝xAB＋(1－x)AC，∴x＝－y，∴x∈?－，0?.

?3?

【套路总结】 平面向量的线性运算 1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． 3.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形； 【举一反三】

→→→

1.如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量AB，AC表示CE为( )

2→8→A.AB＋AC 992→7→C.AB＋AC 99【答案】 B

→→→1→→1→1→→【解析】 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE＝AE－AC＝AD－AC＝(AB＋BC)－AC

3331?→1→→?→2→8→

＝?AB＋?AC－AB??－AC＝AB－AC.

33?99?

5

2→8→

B.AB－AC 992→7→D.AB－AC 99

→→→

2.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.

3

【答案】 4

【解析】 ∵E为线段AO的中点，

113→1→1→1→1?1→?1→1→→→

∴BE＝BA＋BO＝BA＋?BD?＝BA＋BD＝λBA＋μBD，∴λ＋μ＝＋＝. 2222?2?24244

→→→

3.在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．

?1?【答案】 ?0，?

2

?

?

→→

【解析】 由题意可求得AD＝1，CD＝3，∴AB＝2DC. →→

∵点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)．

λ→→→→→→→→→→

∵AE＝AD＋DE＝AD＋λDC，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC，∴2μ＝λ，即μ＝.

2

1

∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.

2

→→→

4.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，则x－y＝________. 【答案】 2

→→→→1→→→→→1→

【解析】 由题意得AE＝AB＋BE＝AB＋AD，AF＝AD＋DF＝AD＋AB，

22→→→→?y?→?x?→

因为AB＝xAE＋yAF，所以AB＝?x＋?AB＋?＋y?AD，

?2??2?

6

yx＋＝1，??2所以?x??2＋y＝0，

4

x＝，??3解得?2

y＝－??3，

所以x－y＝2.

考向三 共线定理及其运用

→

(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 【答案】见解析

→

→

→

→→

→

→→

→

→

→→

→→

【解析】(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，∴OP－OB＝m(OA－OB)，

→

→

【例3-1】 已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．

→→即BP＝mBA，∴BP与BA共线．又∵BP与BA有公共点B，∴A，P，B三点共线．

→

→

→

→

→→

→

→

→

→→

→

→→

→→

→

(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使BP＝λBA，∴OP－OB＝λ(OA－OB)． 又OP＝mOA＋nOB.故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. ∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，∴?

?m－λ＝0，?

??n＋λ－1＝0，

∴m＋n＝1.

→→→

【例3-2】 (1)已知D为△ABC的边AB的中点．点M在DC上且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________．

（2）已知?ABC的重心为O，过O任做一直线分别交边AB,AC于P,Q两点，设AP?mAB,AQ?nAC，则4m?9n的最小值是________．

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv（3）已知数列?an?为等差数列，且满足OA?a1OB?a2107OC，若AB??AC（??R），点O为直线BC外一点，则a1009?（ ）

【答案】（1） 3∶5 （2）

251

3 （3）2→→→→→→→→→→→→→→

【解析】（1）由5AM＝AB＋3AC，得2AM＝2AD＋3AC－3AM，即2(AM－AD)＝3(AC－AM)，即2DM＝3MC，故DM＝3→DC， 5

7

故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.

4?3251111134?3133??，当且仅当??时等号成立，4m?9n?4(??)?9(?)???≥?233?33333?33?2即m?5525,n?时4m?9n取得最小值．

369uuuvuuuvuuuv（3）∵数列{an}为等差数列，满足OA?a1OB?a2107OC，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一

点，∴a1+a2017=1，∵数列{an}是等差数列，

∴{an}的2a1009?a1?a2107=1， a1009?1 2【套路总结】 共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． uuuruuur(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB??AC，则A，B，C三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【举一反三】

11

1.如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使AM＝AB；在BN的延长线上取点

33

P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得MQ＝λCM时，AP＝QA，试确定λ的值．

1

2

→→→→

8