复变函数与积分变换作业答案

复变函数与积分变换习题 班级 姓名 学号

14分式线性映射

一、选择题：

【 A 】1、分式线性变换w?2z?1把圆周z?1映射为 2?z（A）w?1 （B) w?2 （C）w?1?1 (D) w?1?2 【 D 】2、点z关于单位圆周|z|?1的对称点是 （A）z （B）z （C） 二、填空题：

1、把点z?1,i,?1分别映射成点w??,?1,0的分式线性映射是f(z)??i11 （D） zzz?1. z?12、1?i关于圆周|z?1|?2的对称点是1?4i.

三、求把点z?1,i,?i分别映射成点w?1,0,?1的分式线性映射 【解】 由分式线性映射的保比性可得

w?0z?i1?0?1?i, w?1z?i1?11?i化简可得所求映射为

w?i?z.

(1?2i)z?(2?i) 四、求把上半平面Im(z)?0映射成单位圆w?1的分式线性映射w?f(z)，并满足条件： （1）f(i)?0,f(?1)?1；

【解】 由于f(i)?0, 根据分式线性映射的保对称性可知f(?i)??. 故可令

f(z)?k又因为f(?1)?1, 代入上式得

z?i, (其中k为待定常数) . z?i1?k?1?i, ?1?i解之可得k??i, 从而所求映射为

①

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f(z)??i （2）f(i)?0,argf?(i)?0。

z?i. z?i【解】 由于f(i)?0, 根据分式线性映射的保对称性可知f(?i)??. 故可令

f(z)?ei?由此可得

z?i, (其中?为待定常数) . z?i?2i1i(??2)'i?', f(i)?e. f(z)?e(z?i)22??'又因为argf(z)????0, 所以??. 从而所求映射为

22?iz?iz?i2. f(z)?e??i?z?iz?i 2、求把单位圆z?1映射成单位圆w?1的分式线性映射w?f(z)，并满足条件： （1）f()?0,f(?1)?1 【解】 由于f()?0, 故可设

121212. f(z)?ei??11?z2i? 又f(?1)?1, 代入上式可得 e??1. 从而所求映射为

1z?2?2z?1. f(z)?1z?2z?12z?

（2）f()?0,argf?()?0 【解】 由于f()?0, 故可设

12121212, f(z)?ei??11?z2z?由上式可得

②

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3'1i?44, f()?e?. f'(z)?ei?123(1?z)22i?又因为 argf()???0, 所以e?1. 从而所求映射为

'1212. f(z)?11?z2z?

③

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15唯一确定分式线性映射的条件、几个初等函数所构成的映射 一、选择题：

【 B 】1、把带形域0?Im(z)??22z映射成上半平面Im(w)?0的一个映射为

iz（A）w?2e （B）w?e （C）w?ie （D）w?e 【 D 】2、把角形域0?arg(z)?zz?22映射成上半平面Im(w)?0的一个映射为

2（A）w?iz （B）w??z （C）w??iz （D）w?2z

二、填空题：

22z4?i?1、把角形域0?argz?映射成圆域w?1的一个映射为w?4．

z?i42、映射w?lnz将上半z平面映射为0?Imw??．

三、求一个共形映射将下列区域映射成上半平面： （1）D：Im(z)?0，|z|?2 【解】 如下图所示:

(z) ?z?2?w???

?z?2?O (W1) 22(w) -2 O 2 w1?z?2 z?2O w?w1

所求满足要求的映射为

?z?2?w???.

?z?2?

2④