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第十一章 机械振动
11-1 一质量为m的质点在力F = -?2x的作用下沿x轴运动．求其运动的周期．
（答案：2m）
11-2 质量为2 kg的质点，按方程x?0.2sin[5t?(?/6)] (SI)沿着x轴振动．求： (1) t = 0时，作用于质点的力的大小；
(2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置．
（答案：5 N；10 N，±0.2 m（振幅端点））
11-3 一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速度是24 cm/s，求
(1)周期T；
(2)当速度是12 cm/s时的位移．
（答案：2.72s；?10.8cm）
11-4 一个轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30 cm．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg．待其静止后再把物体向下拉10 cm，然后释放．问：
(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？
(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？
（答案：小物体不会离开；?A?g，在平衡位置上方19.6 cm处开始分离）
11-5 在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动. 试证：
(1) 此物体作简谐振动； (2) 此简谐振动的周期 T?2?R/g
11-6 一质点沿x轴作简谐振动，其角频率? = 10 rad/s．试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (1) 其初始位移x0 = 7.5 cm，初始速度v0 = 75.0 cm/s；
(2) 其初始位移x0 =7.5 cm，初始速度v0 =-75.0 cm/s．
--（答案：x =10.63102cos[10t-(?/4)] (SI)； x =10.63102cos[10t+(?/4)] (SI)）
11-7 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm．现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm，然 后由静止释放并开始计时．求 (1) 物体的振动方程；
1
2m0Fx
OR
(2) 物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力；
(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间．
（答案：x = 0.1 cos(7.07t) (SI)；29.2 N；0.074 s）
11-8 一物体放在水平木板上，这木板以? = 2 Hz的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数?s = 0.50，求物体在木板上不滑动时的最大振幅Amax．
（答案：0.031 m）
11-9 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速率是24 cm/s．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数?为多少？
（答案：0.0653）
11-10 一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通
A B 过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，
?再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点
v x 具有相同的速率，且AB = 10 cm求：
(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A点处的速率．
（答案：x?52?10?2cos(?t?3?) (SI)；3.93?102m/s）
－
44
11-11 在一轻弹簧下端悬挂m0 = 100 g砝码时，弹簧伸长8 cm．现在这 根弹簧下端悬挂m = 250 g的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm，并给以向上的21 cm/s的初速度（令这时t = 0）．选x轴向下, 求
O 振动方程的数值式．
（答案：x?0.05cos(7t?0.64) (SI)）
11-12 一质点按如下规律沿x轴作简谐振动：x?0.1cos(8?t?x
2?) (SI)． 3求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值．
（答案：0.25s，0.1 m，2?/3，0.8? m/s，6.4?? m/s2）
11-13 一质量为0.20 kg的质点作简谐振动，其振动方程为 x?0.6cos(5t?1?) (SI)．
2求：(1) 质点的初速度；
(2) 质点在正向最大位移一半处所受的力．
（答案：3.0 m/s；-1.5 N）
11-14 有一单摆，摆长为l = 100 cm，开始观察时( t = 0 )，摆球正好过 x0 = -6 cm处，并以v0 = 20 cm/s的速度沿x轴正向运动，若单摆运动近似看成简谐振动．试求
(1) 振动频率； (2) 振幅和初相．
（答案：0.5Hz；8.8 cm，226.8°或－133.2°）
2
11-15 一物体作简谐振动，其速度最大值vm = 33102 m/s，其振幅A = 23102 m．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动. 求：
(1) 振动周期T； (2) 加速度的最大值am ；
(3) 振动方程的数值式．
--
（答案：4.19 s；4.5310 m/s2；x = 0.02cos(1.5t?-2
1?) (SI)） 2
11-16 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24cos(1?t?1?) (SI)，试用旋转矢量
23法求出质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m，v < 0的状态所需最短时间?t．
（答案：0.667s）
11-17 一质量m = 0.25 kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹
-簧的劲度系数k = 25 N2m1． (1) 求振动的周期T和角频率?．
(2) 如果振幅A =15 cm，t = 0时物体位于x = 7.5 cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相?．
(3) 写出振动的数值表达式．
（答案：0.63s，10 s1；－1.3m/s，?/3；x?15?10－
?21cos(10t??) (SI)）
3
11-18 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为A/2的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．
（答案：
11-19 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．
（答案：x?0.1cos(5?t/12?2?/3) (SI)）
1?） 2x (cm) 10 O -5 -10 2 t (s)
11-20 一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．
（答案：??
mkR2） 2J?mR 11-21 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0 = 1.2 cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位
3
移处开始计时，写出此振动的数值表达式．
（答案：x?2?10?2cos(9.1?t)）
11-22 一弹簧振子沿x轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x轴原点）．已知振动物体最大位移为xm = 0.4 m最大恢复力为Fm = 0.8 N，最大速度为vm = 0.8? m/s，又知t = 0的初位移为+0.2 m，且初速度与所选x轴方向相反．
(1) 求振动能量；
(2) 求此振动的表达式．
（答案：0.16J；x?0.4cos(2?t?
11-23 质量m = 10 g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按x?0.5cos(8?t?1?)的规律
1?)） 33作自由振动，式中t以秒作单位，x以厘米为单位，求
(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E；
(4) 平均动能和平均势能． （答案：? = 8? s1，T = 2?/? = (1/4) s，A = 0.5 cm，? = ?/3；v??4π?10-
?21sin(8πt?π)，
31a??32?2?10?2cos(8?t??)；3.95310-5 J，3.95310-5 J）
3
11-24 一物体质量为0.25 kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25
-N2m1，如果起始振动时具有势能0.06 J和动能0.02 J，求 (1) 振幅；
(2) 动能恰等于势能时的位移；
(3) 经过平衡位置时物体的速度．
（答案：0.08 m；?0.0566m；?0.8m/s）
11-25 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s内完成48次振动，振幅为5 cm．
(1) 上述的外加拉力是多大？
(2) 当物体在平衡位置以下1 cm处时，此振动系统的动能和势能各是多少？
--（答案：0.444N；1.073102 J，4.443104 J）
11-26 在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5 g的小球，弹簧伸长?l = 1 cm而平衡．经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 4 cm的振动，求
(1) 小球的振动周期； (2) 振动能量．
-（答案：0.201 s；3.923103 J）
11-27 一物体质量m = 2 kg，受到的作用力为F = -8x (SI)．若
Fm该物体偏离坐标原点O的最大位移为A = 0.10 m，则物体动能的x最大值为多少？
OA（答案：0.04 J）
4
11-28 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24
N/m，重物的质量m = 6 kg，重物静止在平衡位置上．设以一 m F 水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m时撤去力F．当重物运动到左方最O 远位置时开始计时，求物体的运动方程．
（答案：x?0.204cos(2t??) (SI)）
11-29 两个同方向简谐振动的振动方程分别为 x?21?5?10cos(10t?34?) (SI), xt?12?6?10?2cos(104?) (SI) 求合振动方程．4+
（答案：x?7.81?10?2cos(10t?1.48)
11-30 一物体同时参与两个同方向的简谐振动： x1?0.04cos2(?t?12?) (SI), x2?0.03cos(2?t??) (SI)
求此物体的振动方程．
（答案：x?0.05cos(2?t?2.22)
5
x
(SI)）
(SI)）
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