数值分析实验和程序

2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果.

数值分析实验报告

实验一 函数插值方法报告

一、问题提出

y?f(xj),j?0,1,?,n对于给定的一元函数y?f(x)的n+1个节点值j。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。

数据如下：

（1） xj 0.4

0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 yj 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多项式L5(x)，和分段三次插值多项式，计算f(0.596),f(0.99) 的值。（提示：结果为f(0.596)?0.625732, f(0.99)?1.05423 ）

（2） xj 1 2 3 4 5 6 7 yj 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 试构造Lagrange多项式L6(x)，计算的f(1.8),f(6.15)值。（提示：结果为

f(1.8)?0.164762, f(6.15)?0.001266 ）

二、要求

1、 利用Lagrange插值公式

?nx?xi?Ln(x)?????ykx?xk?0?i?0,i?kki?编写出插值多项式程序；

n2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；

3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何； 4、 对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。Newton插值多项式如下：

Nn(x)?f(x0)??f[x0,?,xk]?k?1n(x?xj)?j?0,j?kk?1

f[x0,?,xk]??i?0k其中：

(xi?xj)?j?0,j?ikf(xi)

三、目的和意义

1、 学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题； 2、 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点； 3、 熟悉插值方法的程序编制；

4、 如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。

四、实验学时：2学时 五、实验步骤：

1．进入C或matlab开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果.

求解如下：

一、编写插值函数结构程序

Lagrange插值多项式M文件：lagrange1.m function [A1,LN,L1,B1]=lagrange1(X,Y) m=length(X); LN=ones(m,m); for k=1: m x1=1; for i=1:m if k~=i

x1=conv(x1,poly(X(i)))/(X(k)-X(i)); end end

L1(k,:)=x1; B1(k,:)=poly2sym (x1)

end

A1=Y*L1;LN=Y*B1

（1）、求五次Lagrange多项式L5(x)，

在主显示区，输入五次Lagrange多项式L5(x)程序： >> X=[0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05];

>> Y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382]; >> [A1,LN,L1,B1]=lagrange1(X,Y) >> plot(X,A1); >> F=poly2sym(A1)

运行后，输出五次Lagrange多项式L5(x)的结果： A1 =

121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845 F =

(2139673480305281*x^5)/17592186044416

-

(1859275536318005*x^4)/4398046511104 + (9836621836743*x^3)/17179869184 - (414796119737013*x^2)/1099511627776 + (2145751274873259*x)/17592186044416 - 1061478972867847/70368744177664

拉格朗日插值多项式L5(x)的图如下：