高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3两个向量的数量积课堂导学案新人教B版选修2-1

3.1.3 两个向量的数量积

课堂导学

三点剖析

一、利用数量积公式求两个向量的夹角的余弦值 【例1】 如右图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值.

思路分析：要求夹角的余弦值，可先利用公式求OA·BC的数量积.

解：∵BC?AC?AB

∴OA?BC?OA?AC?OA?AB

=|OA||AC|cos〈OA,AC〉-|OA||ABAB|cos〈OA,AB〉 =8×4×cos135°-8×6×cos120° =24-162. ∴cos〈OA,BC〉=OA?BC|OA||BC|?24?1623?22?.

8?55∴OA与BC夹角的余弦值为温馨提示

3?22. 5 由数量积公式可知cos〈a·b〉=

a?b因此要求角的余弦值可先求a·b.

|a||b|二、利用数量积的性质解决问题

【例2】 如下图，已知平行四边形ABCD中，AD＝４，CD＝３，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，求PC的长．

思路分析：可将PC表示成几个向量相加的形式,再由数量积的性质a=|a|求出长度.

2

2

解:∵PC?PA?AD?DC,

∴|PC|＝PC·PC

2

=(PA?AD?DC)

2

＝|PA|2?|AD|2?|DC|2?2PA?AD?2PA?DC?2AD?DC ＝6＋4＋3＋2｜AD｜|DC|cos120°

2

2

2

＝61-12＝49． ∴PC＝7． 温馨提示

求PC的长，先把PC转化为向量表示，然后自身点积根据已知向量的模 及向量间的夹角得其模的平方，再开方即为所求． 三、证明垂直问题

【例3】 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 思路分析:要证EF⊥平面B1AC,可证EF与平面B1AC内的两条相交直线垂直,因此只需证

EF·AB1=0及EF·B1CB1C=0,即可.

证明：设ABAB=a,AD=c,AA1=b,则

EF=EB1+B1F

1(BB1+B1D1) 21=(AA1?BD) 21=(AA1?AD?AB) 21=(-a+b+c), 2=

AB1?AB?AA1=a+b.

∴FF?AB1

1(-a+b+c)5(a+b) 2122

=(b-a+c·a+c·b) 2122

=(|b|-|a|+0+0)=0. 2=

∴EF?AB1,即EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C.

又AB1∩

1B1C=B1, 2∴EF⊥平面B1AC. 温馨提示

要证明垂直问题，在平行六面体内或在四面体内，一般先选一组基底，然后用向量数量积的性质，证明数量积为零，即可说明两向量垂直.

各个击破

类题演练 1

四面体ABCD的各棱长都相等，E、F分别是BC、AD的中点，求异面直线AE、CF所成角的余弦值.

解析：如右图，设边长为a.

∵AE=

1(AB?AC), 2CF=AF?AC

1AD?AC, 211∴AE·CF=（AB?AC）（AD?AC）

221121222

=（acos60°-acos60°+acos60°-a） 22212=?a.

2=

1?a232a,∴cos〈AE·CF〉=2又|AE|=|CF|=??.

3223a42∴余弦值为?.

3变式提升 1

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长为e,求向量B1D1与向量BC1的夹角. 解：设基向量DA=a,DC=b,DD1=c,

则B1D1??D1B1 =-a-b，

BC1?AD?AA1

=-a+c，

∴B1D1?BC1=(-a-b)·(-a+c)=e ∴cos〈B1D1,BC1〉=

2

1.

2e?2e2=

e2∴夹角为60°. 类题演练 2

已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且两两夹角为60°.则AC1长是多少?

解析：AC1?AB?AD?AA1 ∴|AC1|=（AB?AD?AA1）

22=AB?AD?AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1

2

2

=1+1+1+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°=6. ∴|AC1|=6.

变式提升 2

已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°，求AC′的长. 解析：AC??AB?AD?AA?， 则|AC?|=|AB?AD?AA?|=85，

2

则|AC?|=85.

类题演练 3

已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB=CD，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.

解析：EF，AD，BC均可用AB，AC，AD表示，只要证EF·AD=0，EF·BC=0即可.

变式提升 3

如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.

证明：连接DB，取AB=a,AD=b,AA1=c, 且|a|=|b|=|c|=1. 则有AC=AB+AD=a+b,

1DB+BB1 2111=(AB?AD)+BB1=a-b+c, 22211∴AC·OB1=（a+b）·（a-b+c）

22111212

=|a|+a·b-a·b-|b|+a·c+b·c 222211=-=0. 22OB1=OB+BB1=

∴AC⊥OB1,即AC⊥OB1.

11DD1=b+c, 22111∴OB1·AP=（a-b+c）·（b+c）

2221111122=a·b-|b|+c·b+a·c-b·c+|c| 2244211=-+=0， 22又AP=AD+

∴OB1⊥AP，即OB1⊥AP.∴OB1⊥平面ACP.