第8章《机械振动 机械波》

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第八章 机械振动 机械波

目的要求：理解简谐振动和波的传播过程中各量变化的规律特点,掌握单摆模型的有关计算\\横波的

传播规律和利用波的图象进行综合分析

第一单元 简谐振动、振动图像

一、机械振动

1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．

振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件. 产生振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小; 2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．

①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力; ③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．

3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态） 二、简谐振动及其描述物理量 1、振动描述的物理量

（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段．

①是矢量，其最大值等于振幅；

②始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反； ③位移随时间的变化图线就是振动图象． （2）振幅：离开平衡位置的最大距离．

①是标量； ②表示振动的强弱；

（3）周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．

①二者都表示振动的快慢； ②二者互为倒数；T=1/f；

③当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．

2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动．

①受力特征：回复力F=—KX。

②运动特征：加速度a=一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。

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说明：①判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。 ②简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都是平衡位置.

【例1】如图，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于O位置，现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放（在弹性限度内），试证明释放后小球的上下振动是简谐振动，

证明：设小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，小球处在O位置有：

mg—kΔx=0???①

式中Δx为小球处在O位置时弹簧的伸长量．

再设小球离开O点的位移x（比如在O点的下方），并取x为矢量正方向， 此时小球受到的合外力∑Fx为：∑Fx =mg－k（x＋Δx）② 由①②两式可得：∑Fx =－kx,

所以小球的振动是简谐振动，O点即其振动的平衡位置．

点评：这里的F=—kx，不是弹簧的弹力，而是弹力与重力的合力，即振动物体的回复力．此时弹力为k（x＋Δx）；所以求回复力时F＝kx，x是相对平衡位置的位移，而不是相对弹簧原长的位移． 三．弹簧振子：

1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子．一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力（水平的弹簧振子）或弹力和重力的合力（竖直的弹簧振子）提供的．弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型． 2、弹簧振子振动周期：T=2?m/k，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情

况（如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上）无关。

3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是T?2?使用。

4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

【例2】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（ ）

A、Mg； B．（M－m）g； C、（M＋m）g ； D、（M＋2m）g

【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置．初始运动时D的零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧

们将作简速度为在没有剪

mk。这个结论可以直接

断D、B连线时的伸长量为x1＝2 mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为 A＝x2－x1= mg／k

D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧

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自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．

点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重在弹簧振子运动的对称性．解答本题还可以通过求D物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力

四、振动过程中各物理量的变化情况 位移X 振动体位置 平衡位置O 方向 大小 0 回复力F 方向 指向O 平衡位置O→最大位移处A 最大位移处A→平衡位置O 指向A 指向A 0→最大 最大→0 指向O 指向O 0→最大 最大→0 指向O 最大→0 A→O 指向O 大小 0 最大 加速度a 方向 指向O 大小 0 0→最大 最大 O→A 最大→0 0→最大 最小→最大 最大→最小 最大→最小 最小→最大 速度v 方向 大小 最大 0 势能 最小 最大 动能 最大 最小 最大位移处A 指向A 最大 说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为 T／2。

①凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小.

②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；当在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；

③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同． 【例3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，的振动频率为（ ）。

（A）1Hz；（B）1.25Hz （C）2Hz；（D） 2．5Hz

解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0．2s，由于“从b再回到a的最短时间是0．4s，”说明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b→c→b历时0．2s，同理，振子从a→d→a，也历时0．2s，故该振子的周期T＝0．8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz。 综上所述，本题应选择（B）。 五、简谐运动图象

1.物理意义：表示振动物体（或质点）的位移随时间变化的规律．

2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得

的速度相则该振子

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3.特点：简谐运动的图象是正弦（或余弦）曲线．

4.应用：①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x； ②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；

③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况 注意：①振动图象不是质点的运动轨迹．

②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。

③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。 规律方法 1、简谐运动的特点

【例4】（1995年全国）一弹簧振子作简谐振动，周期为T（ ）

A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍 B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于T/2的整数倍 C．若Δt=T，则在 t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等 D．若Δt＝T/2，则在t时刻和（t十Δt）时刻弹簧的长度一定相等

解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2，选项B错误。相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt＝T，则根据周期性，该振子所有的物理量应和t时刻都相同，a就一定相等，所以，选项C正确。

本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。

【例5】如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？

解析:由已知振子从A点开始运动，第一次经过O点的时间是1/4周期，第二次经过O点是3/4周期，设其周期T，所以有：t=3T/4,T=4t/3;

振子第一次到O点的时间为；振子第二次到点的时间为

3tt3?T2；振子第三次到O点的时间为

T?2?32t??

第n次到O点的时间为

T?n?32t（n＝0．1,2,3??）

C处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有

T?g?t14t?g2?tH?g??n????n????2n?1?t2

2?32?2?323?181222、弹簧振子模型

【例5】如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹A随 B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当 A的回复力的是 。当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为 。

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簧上。若使