新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 2. 直角三角形 直角三角形的性质与判定》教案_2

第一章 三角形的证明

2 直角三角形（一）

直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，课本努力将证明的思路展现出来。例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此教科书将其两种证明方法放在“读一读’’中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的。

1 知识目标：

（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

2 能力目标：

（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。 3 教学重点、难点 重点

①了解勾股定理及其逆定理的证明方法。

②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

难点

勾股定理及其逆定理的证明方法。

三、教学过程

1 创设情境，回顾复习

问题：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？ 让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。

解析 关于角

① 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？

（定理 直角三角形的两个锐角互余）

② 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形么？为什么？

（定理 有两个角互余的三角形是直角三角形） 2 引出新课

关于边

（1）勾股定理的证明

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c 求证：a2+b2＝c2

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等) ∴四边形ACDE是直角梯形

11

∴S梯形ACDE＝ (a+b)(a+b) ＝ (a+b)2

22

∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90° AB＝BE 1

∴S△ABE＝ c2

2

∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED 112 11 2

∴ (a+b)＝ c+ ab + ab 2222111

即 a2 + ab + b2＝ c2 + ab 222∴a2+b2＝c2

用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调。具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?

AEACBbCcaBD师生共同来完成勾股定理的逆定理的证明 （2）勾股定理逆定理的证明

已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2 求证：△ABC是直角三角形

分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等

证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)， 则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理) ∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′ ∴BC2＝B′C′2 ∴BC＝B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）

∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等) 因此，△ABC是直角三角形

总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

应用练习

已知：在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求证：AB=AC 证：如图所示

∵AD为BC边上的中线，且BC=10 ∴BD=5

在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=5

222222∴AD?BD?12?5?13?AB

ABCA'B'C'A

B

D C

∴△ABD为直角三角形 即∠ADB=∠ADC=90° ∴在Rt△ADC中，

AC2?AD2?DC2?122?52?132

∴AC=13

∴AB=AC

（3）互逆命题和互逆定理 ① 直角三角形的两个锐角互余 ② 有两个角互余的三角形是直角三角形

③ 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

④ 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 第三个定理和第四个定理呢？

通过观察，学生会发现：

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件。

这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。 3 议一议

观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。

让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。

活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：

如果两个角是对顶角，那么它们相等。 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧。 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 三角形中相等的边所对的角相等。 三角形中相等的角所对的边相等。

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流。

不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件。