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三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积?底?高?2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
1变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一
3样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b
ABS1aS2bCD
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；
反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形．
【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．
⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
A
【例 3】 如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，
BDC那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．
AEDBFC
【例 4】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．
AEBHDGFC
【例 5】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
AHD
EGBFC
【例 6】 长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
AHDEGBA(H)FDC
EGBFC
【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD?12厘米，DE?3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC
面积的几倍？
A
EBDC
【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与VBEC等积的三角形一
共有哪几个三角形？
FADEBC
【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE?3AB，BD?2BC，三角形BDE
的面积是多少？
BBEAEACDCD
【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，?ABC的面积是 平方厘米．
BD
AEFC
【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36
个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．
GCDEAF
B
【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方
形组合而成．求阴影部分的面积．
A12cm236cm2B36cm2NM12cm248cm224cm248cm2
【例 13】 如图，三角形ABC中，DC?2BD，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABCCE?3AE，
的面积是多少？
AE
24cm2CD
BDC
【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、
三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是 ．
BDAEC
【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形
BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．
ADB
C
【例 16】
图中VAOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积． AODBC
【解析】 在VABD中，因为SVAOB?15cm2，且OB?3OD，所以有SVAOD?SVAOB?3?5cm2．
因为VABD和VACD等底等高，所以有SVABD?SVACD．
从而SVOCD?15cm2，在VBCD中，SVBOC?3SVOCD?45cm2，所以梯形面积：15?5?15?45?80． （cm2）
【例 17】
如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
DABC
【例 18】
（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形
面积的15%，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？
黄红绿红
【例 19】 O是长方形ABCD内一点，已知?OBC的面积是5cm2，?OAB的面积是2cm2，求?OBD的面
积是多少？
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