《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题解析

限制下的最小值。作拉格朗日函数 L(x,y,z)?xy?2xz?2yz??(xyz?4)，

求L(x,y,z)的偏导数，令其为零并与约束条件联立得方程组

?Lx?y?2z??yz?0?L?x?2z??xz?0?y， ??Lz?2x?2y??xy?0?xyz?4?解之，得x?2，y?2，z?1。

根据问题的实际意义，最小值一定存在，而现在只求得唯一的一组可能取极值的解，所以此解就是所要求的。即当水箱的长为2m、宽为2m、高为1m时，用料12平方米为最省。

例3 在两曲面x2?y2?z、x?y?z?1的交线上，求到原点的最长和最短的距离。（p119 11）

?x2?y2?z解 设两曲面的交线?：?上任一点为M(x,y,z)，则点M到原点的距离为

x?y?z?1??(x,y,z)?x2?y2?z2，

问题归结为求?2在条件x2?y2?z及x?y?z?1下的极值点。

构造函数 L(x,y,z,?,?)?x2?y2?z2??(x2?y2?z)??(x?y?z?1)，

??2x?2?x???0?Lx?L??2y?2?y???0?y???2z?????0， 解方程组 ?Lz?22x?y?z?0???x?y?z?1?0得 x1?y1??1?3，z1?2?3， 2?1?3，z2?2?3。 2x2?y2?代入函数?(x,y,z)?x2?y2?z2中，得

?(x1,y1,z1)?9?53，

?(x2,y2,z2)?9?53。

由于此问题确实存在最大值和最小值，所以所求的最短距离为9?53，最长距离为9?53。 二、练习 p118?119 习题9-8 2，3，5，11

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