《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题解析

由公式（4），得

FxGdy??xFydxGyFzGzFzGz??112x2zx?z， ?11z?y2y2zdz??FydxGy二、练习

FyGyFxGx112y2xy?x。 ???11Fzz?y2y2zGz（4） p89 习题9-5 1，2，3，4，10（1）

§9.6 多元函数微分学的几何应用

一、补充例题

例1 求螺旋线x?2cost，y?2sint，z?解 当t?2t上对应于t??4的点处的切线与法平面方程。

?4时，x?2cos?4?2，y?2sin?4?2，z?2?，因为 4x???2sint，y??2cost，z??2，

所以 x??4t???2，y?t??4?2，z?t??4?2。

于是，可得螺旋线在对应于t??4?22z??x?2y?24， ???111的点处的切线方程为

x?2?y?22z??2?4，即2螺旋线在该点处的法平面方程为 ?2(x?2)?2(y?2)?2(z?即 4x?4y?4z?2??0。

2?)?0， 42?1?y?16xx?例2 求曲线?：?上对应于的点处的切线与法平面方程。 22??z?12x解 因为yx?12?4，zx?12?3，y?x?12?16，z?x?12?12，所以曲线?在对应于x?1的点处的切2x?线方程为

12?y?4?z?3， 116129

曲线?在对应于x?

11的点处的法平面方程为 x??16(y?4)?12(z?3)?0， 22即 2x?32y?24z?201?0。

?x2?y2?z2?3x?0例3 求曲线?在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。

?2x?3y?5z?4?0解 （方法一）公式法：直接利用公式（9）及（10）来解。 （方法二）直接法：依照推导公式的方法来做。

dz?dy2y?2z?3?2x，??dxdx将所给方程的两边对x求导并移项，得 ?

dydz? 3? 5?2，?dxdx?3?2x2zdy由此得 ?dx2?5?15?10x?4zdy， ?dx2y2z?10y?6z3?52y3?2x32dzdz4y?9?6x， ??dx2y2zdx?10y?6z3?5(1,1,1)?9， 16(1,1,1)??1， 16从而T?(1,x?1y?1z?191??,?)，故所求切线方程为 ，

9111616?1616x?1y?1z?1??， 169?191?(y?1)?(z?1)?0， 法平面方程为 (x?1)?1616即

即 16x?9y?z?24?0。

x2y2z2???1在点M0(1,2,3)处的切平面及法线方程。 例4 求椭球面

31227x2y2z2???1，则 解 设F(x,y,z)?31227212??n?(Fx,Fy,Fz)?(x,y,z)，n3627所以在点M0(1,2,3)处椭球面的切平面方程为

(1,2,3)212?(,,)， 339212(x?1)?(y?2)?(z?3)?0，即 6x?3y?2z?18?0， 339法线方程为

10

x?1y?2z?3x?1y?2z?3????，即 。 2/31/32/9632例5 求抛物面z?1?x2?y2在点M0(1,1,?1)处的切平面及法线方程。 解 设z?f(x,y)?1?x2?y2，则n?(fx,fy,?1)?(?2x,?2y,?1)，n所以在点M0(1,1,?1)处的切平面方程为

??(1,1,?1)?(?2,?2,?1)，

?2(x?1)?2(y?1)?(z?1)?0，即 2x?2y?z?3?0，

法线方程为

x?1y?1z?1x?1y?1z?1????，即 。 ?2?2?1221二、练习

p100 习题9-6 3，5，6，7，8

§9.7 方 向 导 数 与 梯 度

一、补充例题

例1 求函数z?x2?y2在点P(1,2)处沿从点P(1,2)到点Q(2,2?3)方向的方向导数。（p108 1） 解 PQ?(1,3)， ePO?(,?????z13)。因为

?x22?2x(1,2)(1,2)?2，

?z?y?2y(1,2)(1,2)?4，

故

?z?PQ?(1,2)?2?13?4??1?23。 2222?例2 求函数f(x,y,z)?ln(x?y?z)在点M0(0,1,2)处沿向量l?(2,?1,?1)的方向导数

?f?l。

(0,1,2)解 el?(?26,?16,?16)，因为fx(0,1,2)?1x?y2?z2?(0,1,2)1， 5?(0,1,2)fy(0,1,2)?2yx?y2?z2?(0,1,2)22z，fz(0,1,2)?5x?y2?z24， 5故方向导数为

?f?l(0,1,2)12214126。 ???（??）?（??）??56551566例3 求函数f(x,y,z)?xy?yz?zx在点(1,0,2)沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为

?、3??和。 46

11

解 el?(cos,cos,cos)?(,????3461223,)，因为 22fx(1,0,2)?(y?z)(1,0,2)?2，fy(1,0,2)?(x?z)(1,0,2)?3，fz(1,0,2)?(y?x)?1，

(1,0,2)故方向导数为

?f?l(1,0,2)123323。 ?2??3??1??1??22222y2?z2)在点A(1,0,1)处沿A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为

?u1?） （答案：________。

???2?ABx?练习：函数u?ln(例4 求gradx。

例5 求u?x?xy?y在点(?1,1)沿方向e?方向减少最快？

解 gradu(?1,1)?(22?y15(2,1)的方向导数及梯度，并指出u在该点沿哪个

?u?u,)(?1,1)?(2x?y,2y?x)(?1,1)?(?3,3)， ?x?y?u?e?(?1,1)?gradu(?1,1)?e??15(?6?3)??35，

方向导数取最大值的方向，即梯度方向，为

12(?1,1)，方向导数的最大值即gradu(?1,1)?32，

而u沿梯度的负方向，即

二、练习

12(1,?1)的方向减少最快。

p108 习题9-7 4，5，6，8

§9.8 多 元 函 数 极 值 及 其 求 法

一、补充例题

例1 求函数f(x,y)?x?4x?2xy?y?1的极值。

例2 要制造一容积为4立方米的长方体无盖水箱，这水箱的长、宽、高为多少时，所费材料最省？ 解 设水箱底面边长为x和y，高为z，于是问题就是求表面积

322A?xy?2xz?2yz

在约束条件 V?xyz?4 （x?0，y?0，z?0）

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