《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题解析

?2x?y?z?2?0,x?2y?1z?3 ??例5 求过直线L1：且与直线L2：平行的平面方程。 ?3233x?2y?2z?1?0,?分析：由过直线L1的平面束与直线L2平行，可求出平面束方程中的参数??5，代入平面束方程，即可得所求平面方程为17x?9y?11z?3?0。

二、练习

p49?50 习题8-6 1，2，4，7，11，15

第九章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用（10学时）

§9.1 多元函数的基本概念

一、补充例题

例1 求下列函数的定义域： （1）z?arcsinxy?arcsin； （2）z?4?x2?y2?231x?y?122。

22答案：（1）{(x,y)?2?x?2,?3?y?3}；（2）{(x,y)1?x?y?4}。

xy?1?1ln(x?ey)tanxy例2 求下列极限：（1）lim；（2）lim；（3）lim。

22(x,y)?(0,0)(x,y)?(1,0)(x,y)?(0,2)xxyx?y解 （1）

?tanxy?tanxytanxy??y??limy?1?2?2； limlim?lim?(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy?0xxyy?2?xy?limln(x?e)x2?y2y（2）

(x,y)?(1,0)?(x,y)?(1,0)ylimln(x?e)(x,y)?(1,0)limx2?y2?ln2?ln2； 1（3）二、练习

(x,y)?(0,0)limxy?1?11xy?1?1?。 ?lim(x,y)?(0,0)xyxy(xy?1?1)2（2）（3）（4）（5） p63 习题9-1 5，6（1）

§9.2 偏 导 数

一、补充例题

例1 设z?xsin(xy)?ex?2y，求

?z?z?z，和?x?y?x?z?z，。 ?x?yx?1y?0。

y例2 设z?x（x?0，x?1），求

例3 设z?arctan

y?z?z，求和。 x?x?y5

例4 求函数z?xy?x2siny的所有二阶偏导数。

?3u例5 设u?(xy)，试求。

?x?y?zz二、练习

（2）（3）（5）（6）（7），4，6，8 p69 习题9-2 1（1）

§9.3 全 微 分

一、补充例题 例1 设z?lnx2?y4，求dz。

例2 求函数u?f(x,y,z)?()在点(2,1,?2)的全微分。

xyz例3 求函数u?x?sin二、练习

2yz?arctan的全微分。 2yp75?76 习题9-3 1，2，3

§9.4 多元复合函数的求导法则

一、补充例题

例1 设z?ln(x2?y2)，x?t?解 设u?x2?y2，则

1dz，y?t(t?1)，求。 tdtdzdz?udxdz?udy111???22x(1?)?2y(2t?1) 2222dtdu?xdtdu?ydtx?ytx?y?11(t?)2?(t2?t)2t112(t?)(1?2)?tt11(t?)2?(t2?t)2t?z?z，。 ?x?y222(t2?t)(2t?1)。

u例2 设z?ecosv，u?xy，v?2x?y，求

例3 设z?f(x,v)?xe?x?cosv，而v?x?y，求解

2v3?z。 ?x22?z?f?f?v???2xev?3x2?(x2ev?sinv)2x?3x2?2x(1?x2)ex?y?2xsinx(2?y2)。 ?x?x?v?x例4 设z?f(,x?2y,ysinx)，求二、练习

yx?z?z，。 ?x?yp82?83 习题9-4 1，2，3，4，5，8

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§9.5 隐函数的求导公式

一、补充例题

例1 求由方程xy?yx（x?y）所确定的隐函数的导数

dy。 dx?z?z?2z例2 设xy?e?z，求，和。

?x?y?x?y2z解 先求

?z?z和。 ?x?y（方法一）公式法。令F(x,y,z)?x2y?ez?z，则Fx??2xy，Fy??x2，Fz???ez?1，

Fy?Fx??z2xy?zx2所以 ，。 ???????xFz?ez?1?yFz?ez?1（方法二）直接法。直接对方程xy?e?z的两端分别对x和y求导，得

2z2xy?ez??z?z?z2z?z??，x?e?，

?x?x?y?y?z2xy?zx2?解得 ，。 ??xez?1?yez?1注意对方程两端求导时，要把z看作x和y的函数。

（方法三）微分法。对方程xy?e?z的两端求微分，有

2z2xydx?x2dy?ezdz?dz，

2xyx2dx?zdy， 整理，得 dz?ze?1e?1?z2xy?zx2?所以 ，。 ??xez?1?yez?1最后，计算二阶混合偏导数。由

?z2xy?z对y求偏导数，得 ?xe?1?2z??x?y2222x(ez?1)?2xyez(ez?1)2?z?y2x(ez?1)2?2x3yez?。

(ez?1)3?z?2z例3 设2x?xy?z?6，求，。

?x?x?y解 令F(x,y,z)?2x?xy?z?6，因为

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222

Fx?4x?y2，Fy??2xy，Fz?2z，

?z4x?y2y2?4x???所以 ， ?x2z2z?z?2xyxy， ????y2zz?z??x?y22y?2z?(y2?4x)?24z2?z?y2yz?(y2?4x)??2z2xy232z?2yz?xy?4xy。

2z3?x?y?z?0dydz例4 设函数y?y(x)，z?z(x)由方程组?2所确定，求和。 22dxdx?x?y?z?1解 （方法一）直接法。注意到y和z都是x的一元函数，方程组两端对自变量x求导，得

?dydz?dydz1???0???1???dxdx?dxdx，即?， ① ??2x?2ydy?2zdz?0?ydy?zdz??x??dxdxdx??dx这样通过求解关于

dydzdydz，的线性方程组①，可求得和的表达式。 dxdxdxdx因为系数行列式J?11?z?y?0，由克拉默法则，得 yz?1dy?x?1dxy1zx?zdz

，??

1z?ydxz1?1

y?xy?x

。 ?

11z?yyz

也可以用消元法求解线性方程组①，得出

dydz和的表达式。 dxdx（方法二）微分法。方程两端微分，得

?dx?dy?dz?0?dy?dz??dx，即?， ?2xdx?2ydy?2zdz?0ydy?zdz??xdx??解得dy?x?zy?xdx，dz?dx。于是 z?yz?ydyx?zdzy?x??，。 dxz?ydxz?y222（方法三）公式法。设F(x,y,z)?x?y?z，G(x,y,z)?x?y?z?1，则

Fx?Fy?Fz?1，Gx?2x，Gy?2y，Gz?2z。

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