2013届高考数学第一轮复习精品学案第6讲：函数与方程

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第6讲 函数与方程

一．课标要求

1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2013年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；

（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数

y?f(x)(x?D)的零点。

函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。

二次函数y?ax?bx?c(a?0)的零点：

１）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；

２）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且

- 1 -

2222

有f(a)f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c?(a,b)，使得

f(c)?0，这个c也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度?，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)?0，给定精度?； （2）求区间(a，b)的中点x1； （3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0?(a,x1)）； ③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0?(x1,b)）； （4）判断是否达到精度?；

即若|a?b|??，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使f(x)?0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； 若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)?0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。

（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=

1 (p+q)。 2

- 2 -

b

2a2abb若x0≤－

2a2ab若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。

2a若－

（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小?a·f(r)<0；

???b2?4ac?0,??b②二次方程f(x)=0的两根都大于r??? ?r,2a?a?f(r)?0?????b2?4ac?0,?b??q,?p??③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根?? 2a?a?f(q)?0,???a?f(p)?0;④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根?f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)

检验另一根若在(p，q)内成立。

四．典例解析

题型1：方程的根与函数零点

例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) （2）设a为常数，试讨论方程lg(x?1)?lg(3?x)?lg(a?x)的实根的个数。 解析：

（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标x0，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于321y选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较x0与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此x0＞2，从而判定x0∈(2，3)，故本题应选C。

o12x03x?x?1?0?3?x?0?（2）原方程等价于? ?a?x?0??(x?1)(3?x)?a?xY432101234Xy?ax?52 - 3 -

?a??x2?5x?3即? ?1?x?3构造函数y??x2?5x?3(1?x?3)和y?a，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：

①当1?a?3或a?②当3?a?13时，原方程有一解；

413时，原方程有两解； 413时，原方程无解。

③当a?1或a?4点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例2．设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)?f(3)?0。

（Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。 解析：由f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x)得函数y?f(x)的对称轴为x?2和x?7, 从而知函数y?f(x)不是奇函数,

由??f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)???f(4?x)?f(14?x)

?f(7?x)?f(7?x)?f(x)?f(14?x)?f(x)?f(x?10),从而知函数y?f(x)的周期为T?10

又f(3)?f(0)?0,而f(7)?0,故函数y?f(x)是非奇非偶函数;

(II)由??f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)???f(4?x)?f(14?x)

?f(7?x)?f(7?x)?f(x)?f(14?x)?f(x)?f(x?10)

(III) 又f(3)?f(0)?0,f(11)?f(13)?f(?7)?f(?9)?0

故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解,从而可知函数y?f(x)在[0,2005]上有402个解,

- 4 -