数值分析 试题纸A及其参考答案

一、填空题(每题3分，共30分)

1. 用3.1415近似?,有效位数为 ① 。

2. 若干个浮点数做连加运算，按 ② 安排运算时，计算误差小。

?16?412??4??????1?做Cholesky分解，得L???123. 对称正定矩阵A???45?，

?12?119??3ab?????那么，a? ③ ，b? ④ 。

?4??14. 用部分选主元的Doolittle分解法分解矩阵?2??3?32302571?43????148?，经过第一轮分解后得到?16??2??32???4323??258??，在

376?012??第二轮分解时，应选择第 ⑤ 行作为主元行。 5. 请完成以下的差商表 xi 0.10 0.20 0.25 f(xi) 0.2 0.4 0.65 f[xi,xi?1] f[xi,xi?1,xi?2] ⑥ 5 20 以这三点为节点的二次Newton插值多项式为 ⑦ 。

(n)6. Cotes系数Ck只跟将积分区间等分的份数有关，而跟 ⑧ ，和 ⑨ 都无关。

7. 用Jacobi迭代求解线性方程组

?2x1?x2?6x3?4??8x1?x2?5x3?2 ??3x?5x?3x?9123?取初始值x(0)?(0,0,0)T，则x(1)? ⑩ 。

1yn?1，假设在求y0时的误差为?，求计算y10的误差，并讨论计算的稳定n二、设序列?yn?满足关系式yn?性？（8分）

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三、用紧凑格式的Doolittle分解法求解线性方程组（10分）

?3??6??3???6?

四、已知数据表

xi yi 1 2 140??x1??11??????1??x2??33??

316??x3??30??????????0?111???x4??35?252 4 3 8 ①求最小二乘拟合函数P(x)?a0?a1x?a2x2和拟合误差。（保留5位有效数字）（10分）

②求二次Lagrange插值多项式L2(x)（7分）

③比较P(x)和L2(x)，并对结果做出说明（5分）

?3x3?2x2?x?2x?[0,1]五、证明f(x)??3 是以(0,2),(1,8),(2,34)为节点的三次样条插值函数。（92?x?8x?5x?4x?[1,2].分）

六、用递推的梯形公式计算后4位）。（12分）

dx?3??10的近似值，要求误差不超过（注：要求计算的每一步保留小数点?x?101七、用Newton迭代法求f(x)?3x?x?1?0在0.7附近的根，并画图示意Newton迭代法的求解过程。（9分）

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广东财经大学试题参考答案及评分标准

__2013－2014_学 年 第__1__ 学 期

课程名称 数值分析（A卷） 课程代码 110203 课程负责人 杨志华

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、填空题(每题3分，共30分)

① 4 ②安排绝对值较小的数先计算。 ③ 1 ④ 3 ⑤ 4 ⑥ 2 ⑦

N2(x)?0.2?2(x?0.1)?20(x?0.1)(x?0.2)??20x?8x?0.42

⑧ 积分区间 ⑨ 被积函数 ⑩ (2,2,3)T 二、解：依题意

1*1?y1?(y1??)?y2?222（5分）

11??11??****y3?y2?(y2?)?y3?,?,y10?y9?(y9?)?y10?3323!10109!10!**y1?y0?y0???y1??,*y2?由以上过程可知，若计算y0时的误差为?，随着计算的进行，到计算yn时的误差减小到为

?，显然，计算过程对误差有抑制作用，因此该计算时稳定的。（3分） n!

三、解：

?3??6(A|b)???3???6??3??2???1???2?从而

1430122111??3??5133??2???1630?1????11135????22011??3??1111??2?1419???1???21135????2201432510?112021121412211??3??133??2???630?1???1135????211??11?19??8??0111??21111?21630??1?11135??20（7分）

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?1??3120??????21??211?L??,U?,????12114??????2121??2?????最后，由Ux?y，计算得

?11????11?y???（1分）

19???8???x1?1,x2?2,x3?3,x4?4（2分）

四、解：①取基函数为

?0(x)?1,?1(x)?x,?2(x)?x2

从而

?0?(1,,1,1,),?1?(1,2,3),?2?(1,4,9)(?0,?0)?3,(?0,?1)?6,(?0,?2)?14,(?1,?1)?14,(?1,?2)?36,(?2,?2)?98 (f,?0)?14,(f,?1)?34(f,?2)?90（以上全对得6分）

得法方程组为

?3614??a0??14????????61436??a1???34? （1分） ?143698??a??90????2???解得： a0?2,a1??1,a2?1 得拟合函数为

P(x)??2?x?x2 （3分）

最小二乘拟合要找的是拟合误差为最小的拟合函数。由于拟合数据只有三个点，我们知道

一定存在二次函数过这三个点，此时的拟合误差为零。因此，最小二乘拟合找到的就是过这三个点的二次函数，因此拟合误差为零。

②根据数据表，得Lagrange插值多项式如下：（7分）

L2(x)?2(x?2)(x?3)(x?1)(x?3)(x?1)(x?2)?4?8(1?2)(1?3)(2?1)(2?3)(3?1)(3?2)

?2?x?x2③比较P(x)和L2(x)可知，P(x)?L2(x)。因为L2(x)是过给定的三个节点的二次函数，根据①的分析，P(x)也是过着三个节点的二次函数，而过给定的三个节点的的二次函数是唯

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