全国高中数学联赛模拟试题第四卷附答案

全国高中数学联赛模拟试题（四）

第一试

一、 选择题（每小题6分，共36分）：

a2?x21、函数f?x??是奇函数的充要条件是

x?a?a（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1 （C）a＞0 （D）a＜0

2、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l：y＝kx．当点A、

B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是 （A）点A在直线l上 （B）点B在直线l上 （C）点C在直线l上 （C）点A、B、C均不在直线l上 3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1

D1 在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角C1

都等于60°．这样的直线l可以做

B1 A1 （A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条

D C 1004、整数的n?C200两位质因数的最大值是

A B （A）61 （B）67

（C）83 （D）97 5、若正整数a使得函数y?f?x??x?13?2ax的最大值也是整数，则这个最大值等于 （A）3 （B）4 （C）7 （D）8

6、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，

再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是 （A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006

二、 填空题（每小题9分，共54分）：

1、在复平面上，Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z＋1、2z＋1、(z＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|zm∈R，m∈N+}，P＝{x|x

1＝m，m∈M}．则集合P所有元素之和等于 ． 22、函数f(x)＝|sinx|＋sin42x＋|cosx|的最大值与最小值之差等于 ．

1

3、关于x的不等式

x2?2a2?2x?a2?4a?7?0 222x?a?4a?5x?a?4a?7????的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是 ． 4、银行计划将某项资金的40%给项目M投资一年，其余的60%给项目N．预

计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 ．

5、已知点(a,b)在曲线arcsinx＝arccosy上运动，且椭圆ax2＋by2＝1在圆x2

＋y2＝

23的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范围

是 ．

6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，

球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为?、?，则tan(?＋?)的值是 ．

三、 （20分）

△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件 （i）a、b、c均为整数；

（ii）a、b、c依次成等比数列；

（iii）a与c中至少有一个等于100．

求出(a,b,c)的所有可能的解．

四、 （20分）

在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．

五、 （20分）

设正系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．证明：

4（1） max{a,b,c}≥(a＋b＋c)；

91（2） min{a,b,c}≤(a＋b＋c)．

4

2