高三数学一轮复习立体几何(解析版)

(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.

因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点， 11

所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.

22因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形， 所以C1F∥EG.

又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE.

(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝AC2－BC2＝3. 所以三棱锥E - ABC的体积

1113V＝S△ABC·AA1＝××3×1×2＝. 3323

19．，[2014·福建卷] 如图1-6所示，三棱锥A - BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD；

(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A - MBC的体积．

图1-6

19．解：方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD， ∴AB⊥CD.

又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，

AB?平面ABD，BD?平面ABD， ∴CD⊥平面ABD.

(2)由AB⊥平面BCD，

得AB⊥BD.

1

∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.

2∵M是AD的中点， 11

∴S△ABM＝S△ABD＝. 24

由(1)知，CD⊥平面ABD，

∴三棱锥C - ABM的高h＝CD＝1，

因此三棱锥A - MBC的体积 VA - MBC＝VC -

ABM＝

11S△ABM·h＝. 312

方法二：(1)同方法一．

(2)由AB⊥平面BCD，得平面ABD⊥平面BCD. 且平面ABD∩平面BCD＝BD.

如图所示，过点M作MN⊥BD交BD于点N， 11

则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝.

221

又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.

2∴三棱锥A - MBC的体积

VA - MBC＝VA - BCD－VM - BCD 11

＝AB·S△BCD－MN·S△BCD 331＝. 12

18．、[2014·广东卷] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF

折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.

(1)证明：CF⊥平面MDF； (2)求三棱锥M - CDE的体积．

图1-2 图1-3

20．、[2014·湖北卷] 如图1-5，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：

(1)直线BC1∥平面EFPQ； (2)直线AC1⊥平面PQMN.

图1-5 20．证明：(1)连接AD1，由ABCD - A1B1C1D1是正方体，

知AD1∥BC1.

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1. 从而BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1. 而AC1?平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.

因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN. 18．、[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.

图1-3

(1)证明：AB⊥平面ODE；

(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．

18．解：(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB?α，所以DO⊥AB. 连接BD，由题设知，△ABD 是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.

(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．

由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的

平面角，从而∠DEO＝60°.

不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝3.

3

在Rt△DOE中，DO＝DE·sin 60°＝.

2

DO

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝

AD

323＝. 24

3

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.

4

16．、[2014·江苏卷] 如图1-4所示，在三棱锥P - ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：(1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 18．，[2014·山东卷] 如图1-4所示，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，1

AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

2

图1-4

(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：BE⊥平面PAC.

18．证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，