高中数学(北师大版,选修11)：第二章+圆锥曲线与方程(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,12

第二章 §3 3.2

一、选择题

1．(2013·福建文，3)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) 1A. 2C．1 [答案] B

[解析] 双曲线x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝12＝. 22

x2y2

2．(2013·北京理，6)若双曲线2－2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )

abA．y＝±2x 1C．y＝±x

2[答案] B

[解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质．

因为离心率e＝3，所以c＝3a，即b＝2a，由双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±2x.选B.

3．(2014·河北唐山市一模)双曲线x2－y2＝4左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为2， 则a＋b＝ ( )

A．－2 C．－4 [答案] A [解析]

|a－b|

＝2，∴|a－b|＝2， 2

B．2 D．4 B．y＝±2x 2

D．y＝±x

2B.2 2

D.2

∵双曲线左支在直线y＝x上方，

∵a

x2y2x2y2

4．(2014·山西大学附中月考)双曲线2－2＝1和椭圆2＋2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，

abmb那么( )

A．a2＋b2＝m2 C．a2＋b2

B．a2＋b2>m2 D．a＋b＝m

[答案] A

[解析] 双曲线离心率e1＝

m2－b2

， m

a2＋b2

， a

椭圆离心率e2＝

由e1·e2＝1得

a2＋b2·m2－b2

＝1，

am

化简得a2＋b2＝m2.

x2y2

5．已知双曲线－2＝1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(3，

2b→→

y0)在该双曲线上，则PF1·PF2＝( )

A．－12 C．0 [答案] C

[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质． 由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，

2

又点P(3，y0)在双曲线上，∴y0＝1，

B．－2 D.4

→→∴PF1·PF2＝(－2－3，－y0)·(2－3，－y0)＝－1＋y20＝0，故选C.

x2y2

6．已知F1、F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若

ab边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )

A．4＋23 C.

3＋1

2

B.3－1 D.3＋1

[答案] D

[解析] 设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和3c. 由双曲线的定义知：(3－1)c＝2a， ∴e＝

2

＝3＋1. 3－1

二、填空题

7．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．

x2y2

[答案] －＝1

412

[解析] 本题考查双曲线的标准方程． 令x＝0，则y2－4y＋8＝0无解． 令y＝0，则x2－6x＋8＝0，∴x＝4或2. ∴圆C与x轴的交点坐标为(4,0)和(2,0)， 故双曲线的顶点为(2,0)、焦点为(4,0)， x2y2

故双曲线的标准方程为－＝1.

412

x2y2

8．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________．

4b[答案] (－12,0)

[解析] ∵b<0，∴离心率e＝∴－12

9x2

9．(2013·泗阳县模拟)两个正数a、b的等差中项是，等比中项是25，且a＞b，则双曲线2－

2ay2

＝1的离心率为________． b2[答案]

41 5

4－b

∈(1,2)， 2

9

[解析] ∵两个正数a、b的等差中项是，等比中项是25，且a＞b，

2

?∴?ab＝2?a>b，

a＋b9

＝，22

5，

解得a＝5，b＝4，

x2y2

∴双曲线方程为－＝1，∴c＝2516

25＋16＝41，

x2y2c41

∴双曲线2－2＝1的离心率e＝＝.

aba5三、解答题

x2y25

10．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；

9425

(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．

4x22x2y2y2x2

[答案] (1)－y＝1 (2)－＝1或－＝1

464366436

x2y2

[解析] (1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则

9－λλ－4a2＝9－λ，b2＝λ－4， ∴c2＝a2＋b2＝5，

5c2552

∵e＝，∴e＝2＝＝，解得λ＝5，

2a9－λ4x22

∴所求双曲线的方程为－y＝1.

4

x2y2

(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为2－2＝

aby2x2

1(a>0，b>0)或2－2＝1(a>0，b>0)．

ab

c5

由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，

a4∴b＝6，c＝10，a＝8.

x2y2y2x2

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

64366436

一、选择题

11．已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )

A．2 C．6 [答案] B

[解析] 该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力． 在△F1PF2中，由余弦定理得， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

cos60°＝ 2|PF1|·|PF2|?|PF1|－|PF2|?2－|F1F2|2＋2|PF1|·|PF2|

＝

2|PF1|·|PF2|4a2－4c2－2b2

＝＋1＝＋1， 2|PF1||PF2||PF1|·|PF2|故|PF1|·|PF2|＝4.

512．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦

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B．4 D.8