中考数学二轮复习 专题三 开放型问题

开放型问题

一、中考专题诠释

开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类． 二、解题策略与解法精讲

解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。 三、中考考点精讲 考点一：条件开放型

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．

例1 （2015?江苏盐城，第13题3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是 ．

考点： 全等三角形的判定。 专题： 开放型．

分析： 添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．

解答： 解：添加条件为DC=BC， 在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）； 若添加条件为∠DAC=∠BAC， 在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SAS）． 故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC

点评： 此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 对应训练

1．（2015?娄底，第13题3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）

考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型．

分析： 由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．

解答： 解：答案不唯一． ①∠ABD=∠CBD． 在△ABD和△CBD中，

∵，

∴△ABD≌△CBD（SAS）； ②AD=CD．

在△ABD和△CBD中，

∵，

∴△ABD≌△CBD（SSS）．

故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．

点评： 本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．

考点二：结论开放型：

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．

例2 （2015·四川甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立． 试探究下列问题：

（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）

（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．

考点：四边形综合题．. 专题：综合题．

分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；

（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；

（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形． 解答：（1）上述结论①，②仍然成立， 理由为：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°， 在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF=DE，∠DAF=∠CDE， ∵∠ADG+∠EDC=90°， ∴∠ADG+∠DAF=90°， ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（2）上述结论①，②仍然成立， 理由为：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，